湖北省“高中名校联盟—圆创教育”联盟2025届高三下学期5月模拟数学试题
一、单选题
1．设集合，，则（???）
A． B． C． D．或
2．设复数z满足，则的虚部为（???）
A． B． C． D．
3．在的展开式中，含项的系数是（???）
A． B． C． D．
4．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（???）
A． B． C． D．
5．已知圆O的半径为2，弦，D为圆O上一动点，则的最小值为（???）
A． B． C． D．
6．已知函数，若对，，则实数的取值范围是（???）
A． B． C． D．
7．从分别标有1，2，3，…，10的10个小球中，不放回地随机选取两个小球，记这两个小球的编号分别为.若，则为实数的概率为（???）
A． B． C． D．
8．已知长方体中，，，点是底面上的一个动点.设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，记表示，中的最大者，表示，中的最小者，若，则（???）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知a，b为实数，当时，，则的值可能为（???）
A． B． C． D．2
10．已知是定义域为的偶函数，当时，.若对，，则（???）
A．与有相同的零点 B．的图象有无数条对称轴
C．当时， D．与的图象仅有一个交点
11．已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（???）
A．
B．
C．
D．当时，的取值范围是
三、填空题
12．.（用数字作答）.
13．随机变量的取值为、、，若，，则.
14．设数列满足，，其中表示不超过x的最大整数，则；.
四、解答题
15．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，在恒成立，求的取值范围.
16．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为上一点，且平面，.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）求的取值范围.
18．已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点F，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点.
（1）求的方程；
（2）求的轨迹方程；
（3）若，求的取值范围.
19．已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”.
（1）设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”；
（2）证明：是“好的”，是“好的”；
（3）求所有“好的”正整数.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，，
所以，，
所以.
故选A
2．【答案】B
【详解】法一：设（x，），则.
由复数相等，得，解得，即，
可得，所以的虚部为；
法二：由，得，所以.
所以的虚部为.
故选B.
3．【答案】A
【详解】因为的展开式通项为，
所以，二项式、和展开式中含项的系数分别为、、，
所以它们的和为.
故选A.
4．【答案】D
【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以，
因为，所以可设，，则，，
所以.
故选D.
5．【答案】B
【详解】方法一：建立如图所示的直角坐标系，
则，，，
所以，.
所以.
当时，取最小值.
故选B
方法二：如图，作圆的直径，过E作的延长线，垂足为C.
而可以看作在上的投影向量与的数量积.
由圆的性质知，当D与E重合时，取得最小值.
因为，所以，
则.
所以的最小值为.
故选B.
6．【答案】D
【详解】因为，，所以为奇函数.
又，
当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增.
由，所以，所以.
对任意，由，得，所以只需即可.
令，则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以.
故选D.
7．【答案】A
【详解】选取小球有种选法，
若为实数，则有2种情况：
①x为偶数，则y为偶数，有种选法；
②x为奇数，则y为奇数，设，，
在中任取一个数，在B中任取一个数；
或者在B中任取一个数，y在A中任取一个数，共种选法.
所以为实数的概率为.
故选A
8．【答案】C
【详解】如图，取长方体的下底面的各边中点,,,，上底面的中心为，下底面的中心为.
平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，
过作于，作于，则，.
所以，等价于到的距离比到的距离大，所以在如图所示的阴影范围内.
在和中，，为公共边，为共同的中点，
，的大小由与，所成的角大小所决定.所成角越小，则对应角越大.
显然与和所成的角的大小关系不确定：
当在靠近时与直线所成的角较小，与直线所成的角则接近于，此时.
同样当接近于时，故A、B错误；
与的大小关系实际上是看在的左侧还是右侧.
若在左侧，则；
若在右侧，则；
若是在上，则.
同样，在的前面，