训练13三角恒等变换[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.已知sinα－2cosα＝0，则tanπ4-α等于
A.－4 B.4 C.－13 D.
答案C
解析已知sinα－2cosα＝0，则tanα＝2，
∴tanπ4-α
2.(2024·扬州模拟)已知角α的终边在直线y＝3x上，则cosπ2＋2α
A.－32 B.－12 C.±3
答案A
解析因为角α的终边在直线y＝3x上，
所以tanα＝3，则α为第一或第三象限角.
当α为第一象限角时，sinα＝32，cosα＝12，所以cosπ2＋2α＝－sin2α＝－2sinα
当α为第三象限角时，sinα＝－32，cosα＝－12，所以cosπ2＋2α＝－sin2α＝－2sinα
综上，cosπ2＋2
3.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤180°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htanθ.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，且tan(α－β)＝13，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的(
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
答案B
解析依题意，tanβ＝1，
则tanα＝tan(α-β
所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.
4.若5sin2α＋5cos2α＋1＝0，则tanα的值为()
A.2或－13 B.3或－
C.－2或13 D.－3或
答案B
解析5cos2α＋5sin2α＋1＝0
?5(cos2α－sin2α)＋10sinαcosα＋cos2α＋sin2α＝0
?3cos2α－2sin2α＋5sinαcosα＝0，
显然cosα≠0，则2tan2α－5tanα－3＝0，
解得tanα＝－12或tanα＝
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.下列式子正确的是()
A.sin15°＋cos15°＝6
B.cos75°＝6
C.23tan15°＋tan215°＝1
D.tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1
答案ACD
解析对于A，因为sin15°＝sin(45°－30°)
＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6-
cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋
所以sin15°＋cos15°＝62，所以A
对于B，因为cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°·cos30°－sin45°sin30°＝6-24
对于C，因为tan15°＝tan(45°－30°)＝1-tan30°
＝1-331＋3
所以23tan15°＋tan215°＝23×(2－3)＋(2-3)2＝1
对于D，因为tan45°＝tan(33°＋12°)＝tan33°＋tan12°1-tan33°tan12°
所以tan33°＋tan12°＝1－tan33°tan12°，
所以tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1，所以D正确.
6.(2024·唐山模拟)在下列函数中，其图象关于直线x＝π3对称的是(
A.f(x)＝3sinx＋cosx
B.f(x)＝3cos2x＋sin2x
C.f(x)＝3cosx－sinx
D.f(x)＝3sin2x－cos2x
答案AD
解析对于A，f(x)＝3sinx＋cosx＝2sinx＋π6，fπ3＝2sinπ3＋π6＝
对于B，f(x)＝3cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π3，fπ3＝2sin2π3＋π3
对于C，f(x)＝3cosx－sinx＝2cosx＋
fπ3＝2cosπ3＋π6＝0，其图象不关于直线x
对于D，f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x-π6，fπ3＝2sin2π3-π6＝
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2025·沈阳模拟)若cosx-π6＝13，则
答案－7
解析sin2x＋π
＝cos2x-π6＝2cos2x-π
8.(2024·晋中模拟)已知α∈0，π2，且cosα-π4＝2cos2
答案14
解析因为cosα-π4＝2
所以cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝2(cos2α－sin
所以cosα＋sinα＝2(cosα－sinα)(cosα＋sinα)，
又α∈0，π2，所以cosα＋sin
所以cosα－sinα