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2025届湖南省长沙市湖南四大名校名师团队猜题卷B模拟预测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数是纯虚数，则实数的值为（????）
A． B． C． D．
2．设为常数，命题，则为真命题的充要条件是（????）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
4．在《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛蘅芜讽和螃蟹咏”中，史湘云做东，邀众姐妹和贾宝玉一起作诗．诗会以菊花为主题，共编拟了十首不同的咏菊诗名，假设分配贾宝玉作《访菊》?《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》?《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉?史湘云?探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（????）
A．150种 B．360种 C．450种 D．540种
5．已知一个正四棱锥的底面边长为4，侧面积为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的体积为（????）
A． B． C．28 D．
6．设数列的前项和为，已知，则（????）
A． B．
C． D．
7．设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的周期函数，其最小正周期为5，设，若在区间内共有26个零点，则在区间内的零点个数为（????）
A．8 B．10 C．12 D．15
二、多选题
9．已知抛物线的准线与圆相切，点为抛物线与圆的一个交点，过圆心作直线与相交于、两点，则（????）
A．圆心为抛物线的焦点
B．点到的准线的距离为
C．以线段为直径的圆与轴相切
D．的最小值为
10．随着城市化进程的加速，通勤时间的长短直接影响到城市居民的生活质量．某调查研究机构随机采访了某市部分人群的通勤时长，共收到1000份调查回复，将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（????）
A．在参与调查的人群中，通勤时长超过60分钟的人数为100人
B．估计该市居民通勤时长不超过20分钟的人数约占
C．估计该市居民通勤平均时长约为35分钟
D．估计该市居民通勤时长的中位数约为30分钟
11．设直线与函数的图象有三个交点，其坐标分别为，且，则（????）
A．的图象的对称中心为
B．
C．
D．
三、填空题
12．已知正实数满足，则．
13．在中，记角所对的边分别为，已知，且，则面积的最大值为．
14．任取一个大于1的正整数，若是奇数，就将乘以3再加上1；若是偶数，就将除以2．将所得之数反复进行上述两种运算，则经过个步骤后，必将变成1，然后进入循环圈，简称为步“雹程”，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．例如取，根据上述运算规则，先后得出的数为，从而为6步“雹程”．
（1）为步“雹程”；
（2）若为7步“雹程”，则的最大值为．
四、解答题
15．已知函数．
(1)若的最小正周期为，求当时的值域；
(2)若在区间内无零点，求的取值范围．
16．如图，在四棱锥中，底面，．
(1)设分别为的中点，为的重心，证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
18．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值；
(2)若有极小值，且极小值小于，求的取值范围；
(3)若有两个不同的零点，证明：．
19．某中学国学小组共有个同学，分别编号为．在一次小组活动中，指导老师设计了两道问答题，并给出如下两个答题规则．
规则一：①第1号同学首先答第一题．②若第号同学答对第一题，则该生继续答第二题；若第号同学答错或不会答第一题，则由第号同学接替答第一题．③若第号同学答对第二题，则答题活动结束；若第号同学答错或不会答第二题，则由第号同学接替答第二题．④若答题轮到第号同学，则当该生遇到答错或不会答的情况时，答题活动也结束．
规则二：①，②同规则一．③若第号同学答对第二题，则答题活动结束；若第号同学答错或不会答第二题，则由第号同学接替答题，且重新从第一题开始作答．④同规则一．
假设每个同学答对第一题的概率都为，答对第二题的概率都为，且各同学的答题相互独立．
(1)若，且按规则