江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷
数学2023.1
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．已知全集，集合，，则（）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则（）
A．0 B． C．2 D．5
3．给出下列四个命题，其中正确命题为（）
A．是的充分不必要条件
B．是的必要不充分条件
C．是函数为奇函数的充要条件
D．是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件
4．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为（）
A． B．
C． D．
6．已知一个等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为P，Q，R，则下列等式正确的是（）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k的取值范围是（）
A． B．
C． D．
8．设，，，这三个数的大小关系为（）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
9．若，，且，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
10．已知一只钟表的时针OA与分针OB长度分别为3和4，设0点为0时刻，△OAB的面积为S，时间t（单位：时），则以下说法中正确的选项是（）
A．时针OA旋转的角速度为
B．分针OB旋转的角速度为
C．一小时内（即时），为锐角的时长是
D．一昼夜内（即时），S取得最大值为44次
11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）
A．事件B与事件相互独立 B．
C． D．
12．已知P为抛物线上的动点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，，则（）
A．的最小值为5
B．若线段AB的中点为M．则△NAB的面积为
C．若，则直线的斜率为2
D．过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，满足直线GH的斜率为，则EF平分
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
13．在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为__________．
14．的展开式中x的升幂排列的第3项为__________．
15．已知函数，曲线在点处的切线与y轴相交于点，则函数的极小值为__________．
16．（第一空2分，第二空3分）已知向量，向量与向量的夹角为，，则向量__________；若向量与向量的夹角为，向量，其中，当时，实数a的取值范围为__________．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
17．（本题满分10分）
已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且交BC于D．
（1）用正弦定理证明：；
（2）若，，，求BD．
18．（本题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和．
19．（本题满分12分）
天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有2000名学生．为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．
（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
（2）请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请