重庆市西南大学附属中学校2024?2025学年高三下学期全真模拟集训（五）数学试题
一、单选题
1．设集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．已知两条直线，则“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为（????）
A．-1 B．1 C． D．2
4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（???）
A． B． C． D．
5．已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（????）
A． B． C． D．
6．已知，则（????）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．已知三棱锥中，面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥的体积为.过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（????）
A． B． C． D．
8．若，则（????）
A．2 B． C．1 D．
二、多选题
9．复数，满足，，则（???）．
A． B．
C． D．
10．一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（????）
A． B．事件A和事件B互为对立事件
C． D．事件A和事件B相互独立
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（???）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于32
三、填空题
12．若，且，则的最小值为．
13．已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为．
14．在数列中给定，且函数的导函数有唯一的零点，函数且.则.
四、解答题
15．已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：．
16．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．
17．在中，角所对的边分别为，其中，．
（1）求角的大小；
（2）如图，为外一点，，，求的最大值．
18．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点；
（2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望；
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
19．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点.
（1）求平面与平面的夹角的余弦值；
（2）点为正方体表面或内部一点.
①若点为线段上一点，点，分别为直线，直线上的动点，求的最小值；
②若点在正方体的表面上，且点到以为公共顶点的三个面中的两个面的距离相等，到第三个面的距离等于点到该正方体中心的距离，求出满足条件的点的个数.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，则，解得，
所以，
由，解得，所以，
所以.
故选D
2．【答案】A
【详解】当时，，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】C
【详解】由函数，可得，
则，所以直线的斜率为.
故选C．
4．【答案】A
【分析】由已知可得，抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，再由点到直线的距离公式即可求得距离.
【详解】由，得焦点坐标为，又双曲线渐近线方程为，
即，则由点到直线的距离公式得.
故选A.
5．【答案】C
【详解】解：由函数，存在常数，使得为偶函数，
则，
由于函数为偶函数，
故，
所以，
当时，.
故选C.
6．【答案】D
【详解】由，
则，得，
令，得，
左右两边除以，得，
所以．
故选D．
7．【答案】D
【详解】解：由题可知中，，，
所以
又面，三棱锥的体积为
所以
则
因为面，所以
又，且面
所以面，又面
则，已知，面
所以面，又面，则，
又，面
所以面
则三棱锥的四个顶点可以与一个长方体的四个顶点重合，如图所示：
则该长方体的外接球即三棱锥的外接球，设外接球半径为
故，所以
三棱锥外接球的体积