陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024?2025学年高三下学期模拟预测数学试题
一、单选题
1．已知复数，则（???）
A． B． C． D．
2．已知集合，，若，则实数m的取值范围为（???）
A． B．
C． D．
3．已知向量在上的投影向量为，且，则（???）
A． B． C．10 D．12
4．已知函数为偶函数，则（???）
A． B．0 C．1 D．2
5．已知，则（???）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙等6名同学站成一排，甲、乙不站在两端，丙站在甲、乙之间，则不同的站法有（???）
A．60种 B．48种 C．36种 D．24种
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在C的右支上，线段与y轴交于点N，，O为坐标原点，过作，垂足为Q，线段交OM于P，且，则C的离心率为（???）
A． B． C． D．
8．记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（???）
A． B．3 C． D．6
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，则（???）
A．
B．
C．曲线的图象与y轴交点的纵坐标为
D．函数的图象关于直线对称
10．已知正数a，b满足，则（???）
A． B． C． D．
11．已知过点的直线l与动圆相切，切点为M，记点M的轨迹为曲线Γ，则（???）
A．曲线Γ经过原点 B．曲线Γ是轴对称图形
C．点在曲线Γ上 D．曲线Γ在第二象限的点的纵坐标有最大值
三、填空题
12．已知的内角的对边分别为，且，，，则.
13．已知某圆锥的母线与底面所成角为，其内切球的表面积为，则该圆锥的外接球的体积为.
14．已知函数，若的最大值为0，则的取值范围为.
四、解答题
15．已知数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16．已知F是抛物线的焦点，直线与抛物线C相交于P点（异于原点），.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设，过P的直线l与C相交于另一点M，若，求直线l的方程.
17．在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”.某社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为.
（1）求比赛4局决出胜负的概率；
（2）求甲获得的奖金X的分布列与数学期望.
18．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，函数有两个极值点，（）.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当，满足时，求实数a的最大值.
19．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面，.
（1）证明：；
（2）设直线CP与平面ABCD所成角为.
（i）求四棱锥的体积；
（ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，
所以，
故选C．
2．【答案】D
【详解】因为，，，
所以，或，解得，或.
故选D.
3．【答案】B
【详解】因为，所以.
又向量在上的投影向量为，
所以，
所以.
故选B.
4．【答案】A
【详解】因为为偶函数，为偶函数，
所以为偶函数，
所以恒成立，
所以恒成立，所以.
故选A.
5．【答案】C
【详解】由，得，
即，所以，
所以.
故选C.
6．【答案】B
【详解】根据题意，先从剩余的3人中选取2人，站在两端，由种站法，
若甲乙站在2号和4号位置，则丙和剩余1人，只有一种站法，共有种站法；
若甲乙站在2号和5号位置，则有种站法；
若甲乙站在3号和5号位置，则丙和剩余1人，只有一种站法，共有种站法，
综上可得，共有种不同的站法.
故选B.
7．【答案】A
【详解】如图所示，设，，因为O为的中点，，
所以P为的重心，所以Q为的中点，
又，所以，
由双曲线的定义可知，，所以，
因为，所以，.
在中，，
在中，由余弦定理得，，
化简得，所以，解得（舍去），
故C的离心率为，
故选A.
8．【答案】C
【详解】设，
当时，，
因为均为正数，所以
，
当且仅当，，时，等式成立；
当时，，
当且仅当，，时，等式成立.
综上可知，t的最小值为.
故选C.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，由图可知，的最小正周期为，由得，，A错误；
对于B，由于,由图可知，的图象关于点对称，所以，解得，B正确；
对于C，由上面得，，令得，，
所以曲线与y轴交点的纵坐标为，C正确；
对于D，因为，所以的图象关于对称，
所以函数的图象关于直线对称，D正确