内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024?2025学年高三第三次模拟考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则集合等于（????）
A． B． C． D．
2．已知，则的虚部为（???）
A．1 B． C． D．
3．已知向量，，则在方向的投影向量为（????）
A． B． C． D．
4．为支援山区教育发展，区教委计划派名教师去石柱?丰都?奉节三个区县支教，若每个区县至少派遣名教师，则不同的选派方案为（????）
A． B． C． D．
5．已知是定义在上的偶函数，那么的值是（????）
A． B． C． D．
6．曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（???）
A． B．
C． D．
8．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（???）
A．函数的最小正周期是
B．点是函数图象的一个对称中心
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
10．已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（????）
A．直线过点 B．直线的倾斜角为
C． D．是等边三角形
11．两头接起来的绳子，如果在接起来之前没有打过结，那么就不会再有结了.反过来，如果起初打了一个结，那么只要不把绳子割断，结也不会消失.看下面这张图，下面选项中与之相同的是（???）
??
A．?? B．?? C．?? D．??
三、填空题
12．的展开式中的系数为．（用数字作答）
13．在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积.
14．与圆台的上下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若某圆台的上底面圆的半径为1，且该圆台的内切球半径为2，则该圆台的侧面积为.
四、解答题
15．已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最大整数n．
16．已知函数在处的切线垂直于直线．
（1）求的值；
（2）求的极值．
17．随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码
1
2
3
4
5
交易额（单位：百亿）
1.5
2
3.5
8
15
（1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．）
（2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额．
参考数据：，，
参考公式：相关系数；
线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，．
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，是等边三角形，．
??
（1）证明：平面平面．
（2）若点为的中点，求与平面所成角的正弦值．
19．已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为，且点在椭圆上．
（1）求出椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，且，试探究直线是否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由．
参考答案
1．【答案】C
【详解】解：因为集合，，
所以，
故选C．
2．【答案】B
【详解】由，
可得：，
所以的虚部为，
故选B
3．【答案】B
【详解】因为向量，，所以，
故在方向的投影向量为，
故选B．
4．【答案】D
【详解】解：根据题意，每个区县至少派遣名教师，可以分组为（1，2，3）；（2，2，2）；（1，1，4），
分组的种数为，
分组后，再分配到三个区县支教，共有种
故选D
5．【答案】D
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以，解得，所以定义域为
又，所以，所以，
又，所以，所以.
故选D.
6．【答案】B
【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件.
故选B
7．【答案】C
【详解】由题意知直线的斜率存在，且
∴，
∵，∴，
直线的方程为，即，
故选C.
8．【答案】A
【详解】又已知，且是定义域为的奇函数，
可得，
即，
所以，
即函数的最小正周期为，即，，
又，，
所以，，
，
所以，
所以
，
故选A.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，
由图象可知，，又，则，
所以，
因为，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后，
所得图象的解析式为，则为偶函数，故D正确；
故选ABD．
1