辽宁省名校联盟2025届高三下学期5月份联合考试数学试题
一、单选题
1．已知复数z满足，则（???）
A．3 B． C．1 D．5
2．已知集合，则的子集个数为（???）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．已知向量满足，则与的夹角为（???）
A． B． C． D．
4．已知O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点M在C上，且M在x轴上的射影为F，若，则C的渐近线方程为（???）
A． B． C． D．
5．在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（???）
A． B． C． D．
6．已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（???）
A． B．0 C．1 D．2
7．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为（???）
A． B． C． D．
8．设，则（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（???）
A．直线与圆C相离 B．的面积为12
C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为
10．已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则（???）
A． B．
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增
11．已知，则下列结论正确的是（???）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最大值为
三、填空题
12．已知具有线性相关的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，则．
13．在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为．
14．在平面直角坐标系中，设点（其中表示中较大的数）为两点的“切比雪夫距离”．若为函数上的动点，则两点的“切比雪夫距离”的最小值为．
四、解答题
15．已知数列的前n项积为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
16．如图，在四棱台中，底面为正方形，为的中点，．
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
17．某农业兴趣小组为比较长效肥和缓释肥这两种肥料的作用，进行了一个季度的对比试验，长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的同一种植物分别对应第组．分别从第组各随机抽取20株并测出株高，得到的60个样本数据分组整理如下表所示：
株高（单位：厘米）
第1组（长效肥）
2
10
6
2
第2组（缓释肥）
3
8
8
1
第3组（未施肥）
8
5
6
1
（1）从第一组20株植物中随机抽取2株，求至少有一株株高在内的概率；
（2）为了进一步研究，从这三组植物中各随机抽取1株，记这3株植物中恰有X株的株高在内，求X的分布列和数学期望（假设植物的生长情况相互独立，用频率估计概率）；
（3）已知这三组植物的平均株高分别为，株高的方差分别为，求样本的平均数和方差．
18．已知函数．
（1）当时，求的零点；
（2）若恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：．
19．已知椭圆分别为椭圆的右顶点和上顶点，过椭圆上的一点M（异于点）且斜率为2的直线与直线交于点，直线与椭圆的另一个交点为N．
（1）求椭圆的方程；
（2）若M在第一象限，求四边形面积的最大值；
（3）证明：直线经过定点．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由，所以．
故选A．
2．【答案】C
【详解】根据题意，联立方程组，可得，
所以，解得，即集合，
所以集合的子集个数为2个．
故选C．
3．【答案】D
【详解】由，所以，
又，所以，
则，故．
故选:D．
4．【答案】B
【详解】不妨设M在第一象限，则，则，即，所以．即，
所以．则双曲线C的渐近线方程为，
故选B．
5．【答案】D
【详解】解法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，可得，
则，
所以.
解法二：设，则，
如图所示，取的中点P，连接，
在正方形中，可得，
在三角形中，因为是的中点，可得，
所以（或其补角）是异面直线与所成角，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得,
在中，由余弦定理得．
故选:D．
6．【答案】B
【详解】由为奇函数，得，
所以图象的对称中心为，令
由的图象关于直线对称，得，
由得，所以，
则的一个周期为4，则
则．
故选B.
7．【答案】B
【详解】掷骰子一共4次，基本事件共种情况，
其中，得两分平局两人抛出的都是；共有1种；
得三分平均两人均有两种情况，两人共种，
以此类推，甲、乙平局一共有种情况，
其余甲、乙获胜机会均等，各575种情况，所以甲获胜的概率为．
故选B
8．【答案】A
【详解】设，则，
所以在上单调递减，又，则，即
则，即．
设，则在上单调递增，
又．所以，即，
所以有