江苏省镇江市2025届高三高考模拟测试卷(4)
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，复数满足，则（???）
A． B． C．2 D．
3．已知向量满足，且，则（????）
A． B． C． D．
4．若，则（????）
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（???）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
7．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球．若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每层雕孔依次增加d个（d为常数）．现制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔，三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，则（????）
A．2 B．5 C．7 D．8
8．已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给出下列说法，其中正确的有（?????）
A．随机变量，若，则
B．随机变量，若，则
C．一组数据的经验回归方程为，若，则
D．对于独立性检验，随机变量的观测值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
10．已知定义在上的函数，满足，，且．则（???）
A．的图象关于点对称B．是周期函数
C．在上单调递增D．
11．已知直线（不同时为0，），，抛物线的焦点为，则（????）
A．直线与恒有两个交点B．直线被截得的最短弦长为
C．与抛物线交于两点，则
D．当时，直线与抛物线交于两点，则
三、填空题
12．随机变量服从正态分布，，，则的最小值为．
13．已知的展开式中项的系数为60，则实数的值为.
14．已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为．
四、解答题
15．在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)证明：；(2)若，求．
16．2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响．
(1)若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；
(2)记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望．
17．已知四棱锥，底面是边长为2的正方形，是线段的中点，平面交于点.
(1)求证：平面；
(2)若，平面平面，平面与平面夹角的余弦值为，求直线与直线所成角的余弦值.
18．已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为1，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)为双曲线C上一动点，过点分别作两条渐近线的平行线交渐近线于，四边形OEPG的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由；
(3)在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由．
19．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数的最小值；
(3)当时，证明：．
参考答案
1．A【详解】因为集合，所以集合，
则.
2．B【详解】因为，所以，所以.
3．A【详解】因为，所以，
又，所以，解得．
4．D【详解】因为，则，
则，所以，则，
所以.
5．C【详解】法一：由题意，联立方程可得，
当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.
所以，直线与双曲线只有一个公共点时，.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图，
根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有交点.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
6．D【详解】由题意可得函数的周期为，最大值点满足，解得，
最小值点满足，解得，因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9，对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确；对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确；对于C，若，当时，最大值点为，最小值点