吉林省长春市2024?2025学年高三下学期质量监测（四）数学试题
一、单选题
1．复数在复平面上所对应的点在（???）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知随机变量，则（???）
A． B． C． D．
3．已知向量和满足与的夹角为，则（????）
A． B．2 C． D．
4．若，且，则（???）
A． B． C． D．
5．圆与的公共弦长为（???）
A． B． C． D．4
6．在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（???）
A． B． C． D．
7．已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（???）
A． B． C． D．
8．结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（???）
A．是的一条对称轴
B．与函数相等
C．在区间上单调递减
D．在区间上的取值范围是
10．已知函数，若函数存在两个零点，则的取值可能是（???）
A． B．1 C．2 D．3
11．数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线（如图所示），则下列关于曲线的说法正确的有（????）
A．周长大于25
B．共有4条对称轴
C．围成的封闭图形面积小于14
D．围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1
三、填空题
12．已知，则.
13．已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则.
14．已知函数在上的最大值比最小值大，则.
四、解答题
15．为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：
性别
身高
合计
低于
不低于
女
20
男
50
合计
200
（1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中的，的值；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于”有关联？
（3）将样本频率视为概率，在全市不低于的学生中随机抽取6人，其中不低于的人数记为，求的期望.
附：，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
16．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围.????
17．已知数列中，.
(1)若依次成等差数列，求；
(2)若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和.
18．如图，两个底面相同的正四棱锥，顶点M，N位于底面两侧，底面ABCD是边长为6的正方形.
??
（1）证明：平面平面BMDN；
（2）若且，点P满足，求直线AM与平面BPN所成角的正弦值.
19．已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点.
（i）证明：点为线段的中点；
（ii）求的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】复数.
故选A
2．【答案】D
【详解】由题意得
故选D.
3．【答案】D
【详解】由题意，.
故选D.
4．【答案】B
【详解】由，则，
则，
又，
所以，所以，.
故选B
5．【答案】A
【详解】圆：??①，所以，.
圆：??②，所以，.
因为，所以圆与圆相交.
因此公共弦所在直线的方程为①②：，
圆的圆心到公共弦的距离为，
即公共弦长为.
故选A
6．【答案】C
【详解】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图，
易得，，
所以四边形为平行四边形，则，
则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角，
即为直线AN与CM所成角（或补角），
设正方体的棱长为2，则，，
在中，由余弦定理可得，，
因此直线AN与CM所成角的余弦值为.
故选C.
7．【答案】D
【详解】设，，
则，①
，②
因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，
由得：中点坐标为，所以，
且.
①②可得，
则，
故选D
8．【答案】A
【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
设直线的方向向量，
则，令，则，
故选A.
9．【答案】AD
【详解】，
令，，，
当时，为的一条对称轴，A正确；
，B错误；
令，当时，，
显然在上不单调，C错误；
当时，，所以，∴，D正确.
故选AD
10．【答案】BCD
【详解】，图象如图
则在上共有3个零点，
即在上有3个根，，，.
又因为函数在上存在两个零点，故.
故选BCD.
11．【答案】ABC
【详解】对A：由题意，在第一象限曲线