湖南省常德市临澧县第一中学2025届高三下学期5月模拟考试数学试卷
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．已知2024个互不相同的实数，记其上四分位数为，中位数为，第75分位数为，则（????）
A． B．
C． D．
3．数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（???）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（???）
A． B． C． D．
5．已知向量，满足，，，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
6．在的展开式中，项的系数为（????）
A．252 B．210 C．126 D．120
7．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（???）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称
8．已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、多选题
9．设z，，均为复数，则下列命题中正确的是（????）
A．若，则 B．
C．若，则的最大值为2 D．若复数，则
10．已知数列满足，的前n项和为，则（???）
A． B．数列是等比数列
C．，，构成等差数列 D．数列前100项和为
11．已知曲线，为曲线上任一点，则下列说法中正确的有（????）
A．曲线与直线恰有三个公共点 B．曲线与直线相切
C．是关于的函数 D．是关于的函数
三、填空题
12．若双曲线的离心率为2，则的值为．
13．设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则.
14．在各棱长均相等的正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是．
四、解答题
15．学校进行足球专项测试考核，考核分“定位球传准”和“20米运球绕杆射门”两个项目.规定：“定位球传准”考核合格得4分，否则得0分；“20米运球绕杆射门”考核合格得6分，否则得0分.现将某班学生分为两组，一组先进行“定位球传准”考核，一组先进行“20米运球绕杆射门”考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明“定位球传准”考核合格的概率为0.8，“20米运球绕杆射门”考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.
（1）若小明先进行“定位球传准”考核，记为小明结束考核后的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.
16．已知函数.
（1）若，且与函数的图象相切，求的值；
（2）若对成立，求实数的取值范围.
17．在等差数列和等比数列中，和是下表第i行中的数（），且，，中的任何两个数不在同一列，，，中的任何两个数也不在同一列.
第一列
第二列
第三列
第四列
第一行
1
2
3
4
第二行
5
6
7
8
第三行
9
10
11
12
(1)请问满足题意的数列和各有多少个？写出它们的通项公式（无需说明理由）；
(2)若的公比为整数，且.数列满足，求的前n项和.
18．在四棱锥中，已知，，，，，是线段上的点．
（1）求证：底面；
（2）是否存在点使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．
????
（1）求与的标准方程；
（2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合）
（3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合）
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，解得，所以，
而，所以，
所以.
故选C.
2．【答案】C
【详解】根据百分位数的概念可知，将这2024个互不相同的实数从小到大排列后，
其上四分位数即为第75分位数，故，
由于这2024个互不相同的实数最中间两数为第1012和第1013个数，
故中位数b为这两个数的平均数，
又第50分位数也为第1012和第1013个数的平均数，
故b即等于第50分位数，而第50分位数小于第75分位数，故，
故选C
3．【答案】D
【详解】令，因为，所以解得，
所以数列的前3项为负，从第4项起为正，
所以的最小值为.
故选D.
4．【答案】A
【详解】由，可得，即，解得，
所以.
故选A.
5．【答案】C
【详解】因为，所以
所以
又，，，,
所以，
故选C．
6．【答案】B
【详解】的展开式的通项为，
则的展开式中项的系数为，
所以的展开式中项的系数为
．
故选B．
7．【答案】C