2025届湖北省黄冈市八模高三模拟测试（八）数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．已知，则（????）
A． B．5 C． D．
3．已知函数的导数为，且，则（????）
A． B． C．1 D．
4．已知数列是等差数列，且，则（????）
A．0 B． C． D．
5．已知双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，且满足，则的离心率为（????）
A．2 B． C． D．
6．如图，某沙漏是由两个形状完全相同的圆锥容器组成．已知最初沙漏中细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的一半，假设细沙全部漏入下部容器中，将细沙摇匀，此时细沙堆成如图所示的一个圆台．若圆锥容器的高为，则此圆台的高为（????）
??
A． B． C． D．
7．已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．下列说法正确的是（???）
A．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为，
B．一组数的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大
C．若随机变量，则
D．若随机变量，且，则
10．设函数，，则下列结论正确的是（???）
A．，在上单调递减
B．若且，则
C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
11．如图是底面半径为1，高为2的圆柱体，正六边形ABCDEF内接于底面圆O，P是上底面圆周上一动点，则下列说法正确的是（???）
A．平面
B．存在点P，使得
C．当与平面所成的角最大时，三棱锥的外接球的体积为
D．若M为的中点，则三棱锥的体积的最大值为
三、填空题
12．若为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项为.
13．已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数.
14．已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是.
四、解答题
15．在中，角，，的对边分别为，，，已知且.
（1）求角；
（2）若为的中点，求线段长的取值范围.
16．图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且.
（1）证明：平面平面；
（2）棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
17．某学校为了推选一名羽毛球选手参加市级联赛，对成绩都非常优秀的甲、乙两名选手进行了五轮综合测试，测试成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）．
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
甲的分数
7.2
7.3
7.6
8
7.9
乙的分数
6
6.3
9.5
9.2
7
（1）根据以上信息，结合概率统计知识，你倾向于选派哪一名选手参加比赛？说明理由．
（2）若甲、乙两名选手进行对抗赛，由于两人实力相当（即甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为），特制订如下规则：当其中一人比另一人多胜两局或比赛局数达到20局时，比赛结束．假设每局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．
18．已知函数．
(1)求曲线y=fx在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设函数．证明：存在实数，使得曲线y=gx关于直线对称.
19．定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为（且）.
（1）求证：椭圆与椭圆的离心率相等；
（2）直线、与椭圆均有且只有一个公共点，且、的斜率之积为，求证：、的交点在椭圆的相似椭圆上；
（3）若为椭圆上异于左、右顶点、的任意一点，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，试探究的值是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为对数函数是上的增函数，
所以由，得，则；
因为指数函数是上的减函数，
所以由，得，则，
由此，.
故选B.
2．【答案】A
【详解】设，则，
由，得，即，
所以，
所以，解得，
所以，
故选A．
3．【答案】B
【详解】由得，当时，，解得，所以，.
故选B
4．【答案】A
【详解】由等差数列公式得：，
所以，
所以.
故选A.
5．【答案】D
【详解】双曲线的两条渐近线方程分别为，易知.
又，解得.所以，
所以的离心率为.
故选D.
6．【答案】D
【详解】方法1：由题可得，根据相似比，细沙的体积占圆锥容器体积的，即细沙堆成的圆台的体积占圆锥容器体积的，
所以圆台上方的空白小圆锥体积占圆锥容器体积的，
因此圆台上方的空白小圆锥的高为，
则圆台的高为．
方法2：设圆锥的底面半径为，圆台的上底面半径为，圆台的高为，如图