训练4函数及其表示[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·绵阳统考)已知集合A＝{x|y＝2-x2}，B＝{x|x2－x－12≤0}，则A∩B等于(
A.{x|－3≤x≤－2}
B.{x|－2≤x≤2}
C.{x|2≤x≤4}
D.{x|－3≤x≤4}
答案B
解析因为A＝{x|y＝2-x
＝{x|－2≤x≤2}，
B＝{x|x2－x－12≤0}＝{x|－3≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}.
2.下列选项中，表示的是同一个函数的是()
A.f(x)＝x2，g(x)＝
B.f(x)＝x2，g(t)＝|t
C.f(x)＝(x－1)2，g(x)＝(x－2)2
D.f(x)＝x＋1·x-1，g(x
答案B
解析对于A，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，定义域不相同，故A错误；
对于B，f(x)和g(t)的定义域都为R，且f(x)＝x2＝|x|，对应关系一致，故B
对于C，f(x)和g(x)的对应关系不一致，故C错误；
对于D，f(x)的定义域为[1，＋∞)，g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，定义域不相同，故D错误.
3.已知f1x-1＝x＋1，则f(x)的解析式为(
A.f(x)＝1x＋2(x≠
B.f(x)＝1＋xx(x
C.f(x)＝1x＋2(x≠0
D.f(x)＝1x－1(x≠0
答案C
解析令1x-1＝t，即x＝1t
则f(t)＝1t＋1＋1＝1t＋2，由x－1≠0，得t≠
故f(x)的解析式为f(x)＝1x＋2(x≠0)
4.已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a0)，若对任意x1∈[－1，2]，总存在x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是()
A.0，1
C.(0，3] D.[3，＋∞)
答案D
解析∵函数f(x)＝x2－2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x＝1对称，
∴x1∈[－1，2]时，f(x1)的最小值为f(1)＝－1，
最大值为f(－1)＝3，
可得f(x1)的值域为[－1，3]，
又∵g(x)＝ax＋2(a0)，∴g(x)为增函数，
∵x2∈[－1，2]，∴g(x2)的值域为[g(－1)，g(2)]，
即当x2∈[－1，2]时，g(x2)∈[2－a，2a＋2]，
∵?x1∈[－1，2]，?x2∈[－1，2]，
使得f(x1)＝g(x2)，∴2-a≤-1,
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2025·泉州模拟)已知函数f(x)＝x＋1x，g(x)＝2x,x0
A.f(g(2))＝2
B.g(f(1))＝1
C.当x0时，f(g(x))的最小值为2
D.当x0时，g(f(x))的最小值为1
答案ABD
解析对于A，g(2)＝log22＝1，
f(g(2))＝f(1)＝2，A正确；
对于B，g(f(1))＝g(2)＝1，B正确；
对于C，当x0时，g(x)＝2x∈(0，1)，
当t∈(0，1)时，f(t)＝t＋1t
f(t)∈(2，＋∞)，无最小值，C错误；
对于D，当x0时，f(x)＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时等号成立)，当t≥2时，g(t)＝log2t≥1，当且仅当t＝2时等号成立，所以此时g(f(x))的最小值为1，D正确
6.一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[a，b]为f(x)的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”.下列结论正确的是()
A.若[1，b]为f(x)＝x2－2x＋2的“跟随区间”，则b＝2
B.函数f(x)＝1＋1x存在“跟随区间
C.若函数f(x)＝m－x＋1存在“跟随区间”，则m
D.二次函数f(x)＝－12x2＋x存在“3倍跟随区间
答案AD
解析对于A，因为f(x)＝x2－2x＋2在区间[1，b]上为增函数，若[1，b]为f(x)＝x2－2x＋2的跟随区间，故其值域为[1，b2－2b＋2]，根据题意有b2－2b＋2＝b，解得b＝1或b＝2，因为b1，故b＝2，故A正确；
对于B，因为函数f(x)＝1＋1x在区间(－∞，0)与(0，＋∞)上均单调递减，故若f(x)＝1＋1x存在跟随区间[a，b
则有a＝1＋1b,b＝1＋1a,解得a＝b，与ab矛盾，故函数f(
对于C，若函数f(x)＝m－x＋1存在跟随区间[a，b]，因为f(x)＝m－x＋1为减函数，故由跟随区间的定义可知b＝m-a＋1,
即(a－b)(a＋1＋b＋1)＝(a＋1)－(b＋1)＝a－b，因为a
易得0≤a＋1b＋1≤1，所以a＝m－b＋1＝m－
令t＝a＋1，代入上式化简可得t2－t－m＝0，同理t＝b＋1也满足t2－t－m＝0，即t