训练6基本初等函数[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·邯郸质检)已知幂函数f(x)满足f(6)f(2)＝4，则f13
A.2 B.14 C.－14 D.
答案B
解析依题意，设f(x)＝xα，则f(6)f(2)＝6α
所以f13
2.函数y＝3－x与y＝log3(－x)的图象可能是()
答案C
解析函数y＝3－x＝13x为R上的减函数，排除A，B选项，函数y＝log3(－x)的定义域为(－∞，0
内层函数u＝－x为减函数，外层函数y＝log3u为增函数，
故函数y＝log3(－x)为(－∞，0)上的减函数，排除D选项.
3.已知a＝log32，b＝e0.1，c＝lne33，则a，b，c的大小关系是(
A.abc B.acb
C.cba D.cab
答案B
解析a＝log32log33＝12，b＝e0.1e0
c＝lne33＝33，故a
4.(2024·南通模拟)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T＝2πGM·a32，其中M为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的
A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
答案B
解析设火星的公转周期为T1，长半轴长为a1，水星的公转周期为T2，长半轴长为a2，则T1＝8T2，
且T
得T1T2
所以a1a2＝4，即a1＝4
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知函数f(x)＝2x＋12x，则(
A.f(log23)＝4
B.f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增
C.f(x)为偶函数
D.f(x)的最小值为2
答案CD
解析f(log23)＝2log23＋12
令2x＝t(t0)，则函数为g(t)＝t＋1t
由对勾函数的性质可知g(t)＝t＋1t在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)
故g(t)＝t＋1t在t＝1
g(t)min＝g(1)＝2，
所以f(x)的最小值为2，故B错误，D正确；
f(x)＝2x＋12x的定义域为R，且f(－x)＝2－x＋12-x＝2x＋12
所以f(x)为偶函数，故C正确.
6.已知1eaeb，则下列大小关系中不正确的是()
A.a2b2 B.12a
C.log2alog2b D.a＋1bb＋
答案ACD
解析因为1eaeb，则ba0，因此b2a2，A不正确；12a12b，B正确；log2blog2a，C不正确；而1a1b，即有b＋1a
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.827-23－1614＋π0－3125＋log193＋
答案19
解析原式＝233×-23－24×14＋1－5－12log33＋4lg2
＝94－2＋1－5－12＋3lg2＋(lg2＋lg5)－3lg2
＝94－2＋1－5－12＋1＋8＝
8.(2025·张家口质检)函数y＝log3(x2＋2x－8)的单调递增区间是.?
答案(2，＋∞)
解析由x2＋2x－80，得x2或x－4，
则函数y＝log3(x2＋2x－8)的定义域为(－∞，－4)∪(2，＋∞).
令函数g(x)＝x2＋2x－8，则函数g(x)在(－∞，－4)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
再根据复合函数的单调性，可得函数y＝log3(x2＋2x－8)的单调递减区间为(－∞，－4)，单调递增区间为(2，＋∞).
四、解答题(共23分)
9.(11分)已知函数f(x)＝logax(a0且a≠1)的图象过点(9，2).
(1)求函数f(x)的解析式；(5分)
(2)解不等式f(3x－1)f(－x＋5).(6分)
解(1)因为函数f(x)＝logax(a0且a≠1)的图象过点(9，2).
所以loga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.
(2)因为f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
所以3x－1－x＋50，解得32x5
即不等式的解集是32
10.(12分)已知函数f(x)＝3x＋m·3－x(x∈R，m∈R).
(1)若f(x)为奇函数，求m的值和此时不等式f(x)32的解集；(6分
(2)若不等式f(x)≤4对?x∈[－1，2]恒成立，求m的取值范围.(6分)
解(1)函数f(x)＝3x＋m·3－x的定义域为R，
∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0对?x∈R恒成立，
即3x＋m·3－x＋3－x＋m·3x＝0对?x∈R恒成立，∴m＝－1，
此时f(x)＝3x－3－x32，即(3x)2－
解得3x2或3x－12(舍去)
∴不等式的解集为(lo