训练15解三角形[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在△ABC中，sinA＝255，AC＝5，B＝45°，则BC等于(
A.25 B.2 C.23 D.22
答案D
解析由正弦定理知，BCsin
∴BC＝ACsinAsinB
2.(2024·沈阳模拟)在△ABC中，若a＝bcosC，则△ABC是()
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
答案C
解析由余弦定理得cosC＝a2
将其代入a＝bcosC，
得a＝b·a2
∴2a2＝a2＋b2－c2，
∴a2＋c2＝b2，即△ABC为直角三角形.
3.(2024·青岛模拟)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asinB，bc＝4，则△ABC的面积为()
A.1 B.3 C.2 D.23
答案A
解析根据正弦定理得sinB＝2sinAsinB，
因为B∈(0，π)，则sinB≠0，
所以1＝2sinA，解得sinA＝12
所以S△ABC＝12bcsinA＝12×4×1
4.(2025·郑州模拟)在锐角△ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是()
A.34，
C.32，
答案D
解析设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则AB边上的高h＝asinB＝32a
由正弦定理得a＝csin
由△ABC为锐角三角形，可知30°C90°，
则tanC33，所以a＝32tanC
从而h∈34
因此AB边上的高的取值范围是34
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.在△ABC中，各角所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的有()
A.若acosA＝b
B.已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则C＝π
C.已知a＝7，b＝43，c＝13，则最小内角的度数为π
D.已知a＝5，A＝π3，b＝4
答案ABC
解析对于A，若acos
则sinA
即tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故A正确；
对于B，由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，可得a2＋b2－c2＝ab，
根据余弦定理得cosC＝a2
因为0Cπ，所以C＝π3，故B
对于C，因为a＝7，b＝43，c＝13，所以cba，所以CBA，所以cosC＝a2
因为0Cπ，所以C＝π6，故C
对于D，因为a＝5，A＝π3，b＝4
所以asin
即532＝4sinB，解得sin
因为ba，所以BA，所以三角形只有1解.
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝π4，BC边上的高等于a3，则以下四个结论正确的是(
A.b＝53
B.sin∠BAC＝10
C.cosC＝2
D.b2－c2＝a
答案ACD
解析因为sinB＝a3c＝a3c＝22，所以c＝23a，由余弦定理知，cosB
b2－c2＝53a2
b＝53a，由正弦定理得sinB＝53sin∠BAC＝22，则sin∠BAC＝3
cosC＝a2＋b2
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2024·葫芦岛模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ca＝33，B＝π6，△ABC的面积为3，则
答案2
解析由于ca＝33，故a
由于B＝π6，△ABC的面积为3
故S＝12acsinB＝3
整理得12·c·3c·1
解得c＝2，a＝23，
利用余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝12＋4－2×23×2×32＝16－12＝4
解得b＝2.
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝2，cos2C－cos2A－sin2B＝－sinBsinC，cosB＋cosC＝1，则A＝，△ABC的面积是.?
答案π3
解析由已知得(1－sin2C)－(1－sin2A)－sin2B＝－sinBsinC，
所以sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝12，所以A＝π
cosB＋cosC＝cosB－cos(A＋B)
＝cosB－cosπ
＝cosB－1
＝12cosB＋32sin
＝sinB＋π6＝1，所以B
所以△ABC为正三角形，所以S△ABC＝3.
四、解答题(共23分)
9.(11分)(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1)求sin∠ABC；(5分)
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积.(6分)
解(1)由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC
＝4＋1－2×2×1×cos120°＝7，
则BC＝7，
由正弦