训练16三角函数与解三角形的综合问题[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2025·郑州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为32，那么b等于(
A.1＋32 B.1＋3 C.2
答案B
解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
等式两边平方得a2＋c2＝4b2－2ac，①
又△ABC的面积为32，且∠B＝30°
由S△ABC＝12acsinB＝12ac·sin30°＝14ac＝32，解得
代入①式可得a2＋c2＝4b2－12，
由余弦定理得cosB＝a2
解得b2＝4＋23，∴b＝1＋3.
2.(2024·吉林模拟)已知函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间-2π3，π3上单调递增，且|f(x)|＝1在区间[0，π]上有且仅有一个解，则
A.0，34 B.34
答案D
解析令ωx∈2kπ-π2，
解得x∈2kπω-π
而函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间-2π
所以-π2ω≤-2π
当x∈[0，π]时，ωx∈[0，ωπ]，
因为|f(x)|＝1在区间[0，π]上有且仅有一个解，
所以ωπ≥π2,ωπ
综上所述，ω的取值范围是12≤ω≤3
3.在一座尖塔的正南方地面某点A，测得塔顶的仰角为22°30，又在此尖塔正东方地面某点B，测得塔顶的仰角为67°30，且A，B两点距离为540m，在线段AB上的点C处测得塔顶的仰角为最大，则C点到塔底O的距离为()
A.90m B.100m
C.110m D.270m
答案A
解析如图所示，设OA＝x，OB＝y，OP＝z，则x2＋y2＝5402，∠OAP＝22.5°，∠OBP＝67.5°，
由tan45°＝2tan22.5°1-tan222.5°＝1，解得tan22.5°＝
tan135°＝2tan67.5°1-tan2
解得tan67.5°＝2＋1，
所以z2-12＋
解得z＝906，
所以x＝9062-1＝1803＋906，y＝9062＋1
要使点C处测得塔顶的仰角为最大，则需tan∠PCO最大，也即需OC最小，所以OC⊥AB，
又S△ABO＝12×OA×OB＝12×AB×
即OC＝OA
＝(1803＋90
所以C点到塔底O的距离为90m.
4.设函数f(x)＝|sinx＋cosx|＋|sinx－cosx|，则下列结论错误的是()
A.函数f(x)为偶函数
B.函数f(x)的图象关于直线x＝π2
C.函数f(x)的最小值为2
D.函数f(x)的单调递增区间为-
(k∈Z)
答案D
解析对于A，f(－x)＝|－sinx＋cosx|＋|－sinx－cosx|＝|sinx－cosx|＋|sinx＋cosx|＝f(x)，为偶函数，故A正确；
对于B，f(π－x)＝|sin(π－x)＋cos(π－x)|＋|sin(π－x)－cos(π－x)|
＝|sinx－cosx|＋|sinx＋cosx|＝f(x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝π2对称，故B
对于C，f(x)＝|sinx＋cosx|＋|sinx－cosx|＝2sin
令x＋π4＝t，则f(t)＝2|sint|＋2|cost|，该函数的最小正周期为π
在t∈0，π2时，f(t)＝2sint＋2
＝2sint＋
所以函数f(t)min＝f(0)＝2，故C正确；
对于D，由于函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到g(x)＝|2sinx|＋|2cosx|
所以当x∈0，π2时，g(x)＝2sinx＋π4，则函数g
在π4，π2上单调递减，由于函数g(x
则函数g(x)的单调递增区间为k
(k∈Z)，
即函数f(x)的单调递增区间为-
(k∈Z)，故D错误.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.如图所示，点P是函数f(x)＝π2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω0)图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点，若M-π6，0，且PM·PN＝
A.N2π3，0 B.
C.Pπ3，π2
答案BC
解析由题意知P的纵坐标为π2，又PM·PN＝0，所以PM⊥PN，PM＝PN
所以MN＝2yP＝π，所以f(x)的周期T＝2π，所以2πω＝2π，ω＝1，故B
所以xP＝xM＋T4＝π
xN＝xM＋T2＝5π
将Pπ3
sinπ3＋φ＝1，φ＝π6＋2kπ(k∈Z)
6.(2024·扬州模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c－b＝2bcosA，则下列结论正确的有()
A.A＝2B
B.B的取值范围为0
C.ab的取值范围为(2，2
D.1tanB－1tan
答案AD
解析在△ABC中，由正弦定理可将式