训练17平面向量线性运算、平面向量基本定理[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·马鞍山模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(2m－1，3)，若a与b共线，则实数m等于()
A.132 B.5 C.7
答案B
解析由题意，得3×3－1×(2m－1)＝0，
解得m＝5.
2.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()
A.(2，6) B.(－2，6)
C.(2，－6) D.(－2，－6)
答案D
解析由题意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－6＋8－4，18－16－8)＝(－2，－6).
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近D的三等分点，点F为线段BC的中点，则FE等于()
A.－1318AB＋
C.－1118AB＋
答案B
解析FE＝FC＋CE＝1
＝1
＝－1318
4.如图，不共线的三个向量a，b，c以圆心O为起点，终点落在同一圆周上，且两两夹角相等，若c＝xa＋yb，则x＋y等于
()
A.－2 B.－3 C.－2 D.－1
答案A
解析因为不共线的三个向量a，b，c以圆心O为起点，终点落在同一圆周上，且两两夹角相等，
所以三个向量的终点A，B，C组成一个等边三角形，
即O是这个等边三角形的中心也就是重心，故a＋b＋c＝0?a＋b＋xa＋yb＝0?x＝－1，y＝－1?x＋y＝－2.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则()
A.|a|＝|b|
B.4a－3b＝(5，－3)
C.{a，b}可以作为平面向量的一个基底
D.(a－b)∥b
答案BC
解析选项A，|a|＝2，|b|＝2，即|a|≠|b|，A错误；选项B，4a－3b＝(5，－3)，B正确；选项C，2×1－0×1≠0，即a，b不共线，则{a，b}可以作为平面向量的一个基底，C正确；选项D，a－b＝(1，－1)，由1×(－1)－1×1≠0，即a－b与b不共线，D错误.
6.如图，在△ABC中，BD＝λBC，其中λ∈[0，1]，B＝π6，AB＝4，BC＝5，则(
A.当λ＝23时，
B.当AB·BD＝－23时，λ＝1
C.当λ＝1时，△ABD的面积最大
D.当λ＝35时，AD⊥
答案ABC
解析对于A，∵BD＝λBC，
∴AD－AB＝λAC－λ
即AD＝(1－λ)AB＋λAC，
∴当λ＝23时，AD＝2
对于B，由AB·BD＝AB·(λBC)＝4×5λ×cosπ-π6＝－23可得λ＝
对于C，当λ＝1时，BD＝BC，D与C重合，△ABD的面积最大，故
对于D，当λ＝35时，AD
∴AD·BC＝AB
＝AB·BC＋3
＝4×5×-32＋35×52＝15－103≠
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是.?
答案(－2，15)
解析设点O为坐标原点，
∵点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，
∴2BP＝3AP，
即2(OP－OB)＝3(OP
∴OP＝3OA－2OB＝3(2，3)－2(4，－3)＝(－2，15).
∴点P的坐标为(－2，15).
8.在△ABC中，AB＝5，AC＝25，BC上的高AD＝4，且垂足D在线段BC上，H为△ABC的垂心且AH＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则xy＝.
答案2
解析由题意，因为AD⊥BC，AB＝5，AC＝25，BC上的高AD＝4，
所以BD＝3，CD＝2，所以BD＝
即AD－
即AD＝
因为H为△ABC的垂心，所以A，H，D三点共线，
因此存在实数λ，使得AH＝λAD，
所以AH＝25λAB
又AH＝xAB＋yAC，所以xy
四、解答题(共23分)
9.(11分)设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；(5分)
(2)若BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值.(6分)
(1)证明由已知得BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－
∵AB＝2e1－8e2，∴AB＝2BD.
又∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线.
(2)解由(1)可知BD＝e1－4e2，
∵BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
∴BF＝λBD(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
即λ＝3,-
10.(12分)如图，在平行四边形