训练22数列中的综合问题[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n－1，则a9等于()
A.512 B.511 C.502 D.503
答案D
解析因为a1＝1，an＋1－an＝2n－1，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1－1)＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)－(n－1)＝2n－n，
所以a9＝29－9＝503.
2.定义[x]表示不超过x的最大整数，若数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则等式a15＋a25＋a
A.30 B.29 C.28 D.27
答案D
解析a15＋a25＋a35＋…＋a105＝25＋55＋85＋…＋295＝0＋(1×2)＋(2×2)＋
3.(2024·榆林联考)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.若要使莞的长度是蒲的长度的2倍，则需要的时间为()
A.4天 B.5天 C.6天 D.7天
答案A
解析由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，
∴蒲的生长构成首项为4，公比为12的等比数列，其前n
Sn＝4×1-12n
又由莞第一天长高一尺，每天长高为前一天的两倍，则莞的生长构成首项为1，公比为2的等比数列，
其前n项和为Tn＝1×(1-2n)1-2
又∵Tn＝2Sn，∴2n－1＝2×8-1
解得n＝4或n＝0(舍去).
4.我们常把Fn＝22n＋1(n＝0，1，2…)叫作“费马数”，设an＝log2(Fn－1)，n＝1，2，…，Sn表示数列{an}的前n项和，则使不等式22S1S2＋23S2
A.2 B.3 C.4 D.5
答案A
解析an＝log2(Fn－1)＝log2(22n＋1－1)＝2
Sn＝2(1-2n)1-2＝2n＋
则2
＝2n
所以22S1S
＝1
＝121-1
即有2n＋1－115，即2n＋124，解得n3，
又n＝1，2，…，则n的最大值为2.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2024·漳州质检)在数列{an}中，a2和a6是关于x的一元二次方程x2－bx＋4＝0的两个根，下列说法正确的是()
A.实数b的取值范围是b≤－4或b≥4
B.若数列{an}为等差数列，则数列{an}的前7项和为4b
C.若数列{an}为等比数列且b0，则a4＝±2
D.若数列{an}为等比数列且b0，则a2＋a6的最小值为4
答案AD
解析对于A，∵x2－bx＋4＝0有两个根，
∴Δ＝b2－4×1×4≥0，
解得b≤－4或b≥4，故A正确；
对于B，若数列{an}为等差数列，
∵a2和a6是关于x的一元二次方程x2－bx＋4＝0的两个根，
∴a2＋a6＝b，
则S7＝7(a1＋
对于C，若数列{an}为等比数列且b0，由根与系数的关系得a
可得a20，a60，∴a40，
由等比数列的性质得a42＝a2·a
即a4＝a2·a6＝
对于D，由C可知，a42＝a2·a6＝4，且a20，a6
∴a2＋a6≥2a2·a6＝4，当且仅当a2＝a6＝2
6.“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体为：取0，3，6，12，24，48，96，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中正确的是()
A.“提丢斯数列”是等比数列
B.“提丢斯数列”的第99项为3
C.“提丢斯数列”的前31项和为3
D.“提丢斯数列”中，不超过20的有8项
答案BCD
解析记“提丢斯数列”为数列{an}，则当n≥3时，an＝6×
当n＝2时，a2＝0.7，符合该式，
当n＝1时，a1＝0.4不符合该式，
故an＝0.4,n＝1
a99＝3×297
“提丢斯数列”的前31项和为25＋310×20＋…＋229＋25×30＝3×23010＋12110，故C正确；令3×2n-2＋410≤20，即2n－2≤1963
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知数列{an}满足an＝cos2(n-1)π3，则{an}的前100
答案1
解析因为an＝cos2(n-1)π3，所以a1＝1，a2＝－12，a3＝－12，a4＝1，a5＝－12，a6＝－12，…，可知数列{an}是以3为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＝0，所以S100＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a97＋a
＝(a1＋a2＋