训练31圆锥曲线中的综合问题[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·南宁模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为圆x2＋(y－1)2＝2的圆心，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则AB等于()
A.12 B.14 C.16 D.18
答案C
解析由题可得抛物线焦点为(0，1)，则p2＝1，即p＝2，则抛物线方程为x2＝4y
∵直线AB的倾斜角为60°，则其斜率为3，故直线AB的方程为y＝3x＋1，
联立直线与抛物线x
可得x2－43x－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝43，x1x2＝－4，
则AB＝1＋3·(43
2.(2024·无锡模拟)已知F1，F2是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q
A.1 B.2 C.4 D.5
答案A
解析∵P是焦点为F1，F2的椭圆x225＋y216＝1上的一点，PQ为∠F1PF2的外角平分线，QF1⊥PQ，设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，
∵PF1＋PF2＝2a＝10，∴MF2＝PF1＋PF2＝10，
∴由题意得OQ是△F1F2M的中位线，∴OQ＝5，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，
∴当点Q在y轴上时，
Q与短轴端点取最近距离d＝5－4＝1.
3.已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3，4)，则PM＋PN的最小值是()
A.25－1 B.5－1 C.5＋1 D.25＋1
答案A
解析由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1，0)，
准线方程为x＝－1，
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知PN＋PM＝PQ－1＋PM＝PF＋PM－1，
当F，P，M三点共线时，PM＋PN取得最小值，则最小值为MF－1＝(3-1)2
＝25－1.
4.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且|F1F2|＝|MN|，四边形MF1NF2的面积为8
A.3 B.5 C.3 D.5
答案B
解析如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，
∴四边形MF2NF1为平行四边形，
∵|F1F2|＝|MN|，
∴四边形MF2NF1为矩形，
∴S△NF1F
又S△NF1F2＝b2tanπ4
∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，即e＝ca
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.定义曲线Γ：a2x2＋b2y2＝1为椭圆C：x2a2＋
A.曲线Γ有对称轴
B.曲线Γ没有对称中心
C.曲线Γ有且仅有4条渐近线
D.曲线Γ和椭圆C有公共点
答案AC
解析x轴和y轴为伴随曲线的对称轴，故A正确；
坐标原点为伴随曲线的对称中心，故B错误；
x＝±a，y＝±b为伴随曲线的4条渐近线，故C正确；
椭圆的范围：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]，
伴随曲线的范围：|x|a，|y|b，
显然曲线Γ和椭圆C没有公共点，故D错误.
6.(2024·菏泽模拟)已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的上、下焦点分别为F1，F2，过点F2且与一条渐近线垂直的直线l与C的上支交于点P，垂足为A，且|PF1|＝3b－
A.双曲线C的渐近线方程为y＝±32
B.双曲线C的离心率为13
C.△AOF1的面积为34a
D.直线l被以F1F2为直径的圆截得的弦长为32
答案BC
解析设焦距为2c，由双曲线的对称性，不妨取双曲线C的一条渐近线y＝－abx
则直线l：y＝bax－c
垂足为A，易知|OA|＝a，
|AF2|＝b，
因为|PF1|＝3b－2a，由双曲线的定义可知|PF2|＝3b，
设线段PF2的中点为E，连接OE，
则|F2E|＝12|PF2|＝3
|OE|＝12|PF1|＝3b2
|AE|＝|F2E|－|AF2|＝b2
在Rt△AEO中，|OE|2＝|OA|2＋|AE|2，
即3b2-a2＝
得ab
故双曲线的渐近线方程为y＝±23x，A
ba
解得e＝132，B
S△AOF1＝S△AO
＝12ab＝34a2，
设直线l被以F1F2为直径的圆截得的弦为MN，则OA⊥MN，
易知点A即为MN的中点，故|MN|＝2|AF2|＝2b＝3a，D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.抛物线x2＝2py(p0)的准线l被圆x2＋y2－6x－1＝0截得的弦长为4，则p＝.?
答案26
解析由题意，圆(x－3)2＋y2＝10的圆心坐标为(3，0)，半径为r＝10，
又由抛物线x2＝2py(p0)的准线方程为
l：y＝－p2
抛物线x2＝2py的准线l被圆x2