训练33计数原理[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.暑假期间某校5名学生计划去黄冈旅游，体验黄冈的风俗与文化.现有黄梅东山问梅村、罗田天堂寨、黄州的东坡赤壁三个景区可供选择.若每名学生只去一个景区，且恰有2人前往黄梅东山问梅村，则不同的游览方案种数为()
A.40 B.90 C.80 D.160
答案C
解析先选2人去黄梅东山问梅村，剩下的3人任意安排去其他两个景区，则不同的游览方案种数为C52·23＝
2.若ax＋1x3x-
A.－720 B.－360 C.360 D.1080
答案C
解析ax
＝ax·3x-2
令x＝1，则展开式的各项系数和为a＋1＝2，解得a＝1，
所以ax＋1x3x-
所以常数项为x·C53(3x)2-2x3＋1x·C52(3x)3-2x2＝C53×32
＝－720＋1080＝360.
3.(2024·南京模拟)某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有()
A.60种 B.54种
C.48种 D.36种
答案B
解析①选派两位快递员：
首先，快递员有C32＝3(种)不同选法，其中一名快递员从四个区域中选两个区域，有C42＝6(种
所以不同的安排方案有3×6×1＝18(种)；
②选派三位快递员：
先从四个区域中选两个区域，有C42＝6(种)选法，将其看作一个区域，现在三个区域安排给三个人有A33＝6
所以不同的安排方案有6×6＝36(种).
综上，不同的安排方案共有18＋36＝54(种).
4.(2024·石家庄模拟)为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有两名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读(不同的同学可以阅读相同的图书)，则这三名同学选取图书的不同情况有()
A.144种 B.162种 C.216种 D.288种
答案A
解析分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有C4
第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，剩余1本作为一组，再分给三名同学，共有12
第二种情况，从4本里任选2本作为一组，剩余的2本作为一组，有C42C
从这4本中任选1本阅读，有C41种方法，共有C42
故这三名同学选取图书的不同情况有12C42C21C
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2024·枣庄模拟)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则()
A.a0＝－32 B.a2＝－80
C.a3＋4a4＝0 D.a0＋a1＋…＋a5＝1
答案ABC
解析令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确.令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确.令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tr＋1＝C5ry5－r(－2)r，故a2＝C53·(－2)3＝－80，B正确.a4＝C51×(－2)1＝－10，a3＝C52(－2)
6.西安是世界四大古都之一，历史上先后有十多个王朝在西安建都.图为唐长安城(西安古称)示意图，城中南北向共有9条街道，东西向有12条街道，被称为“九衢十二条”，整齐的街道把唐长安城划分成了108坊，各坊有坊墙包围.下列说法正确的是()
A.从延平门进城到安化门出城，最近的不同路线共有15条
B.甲、乙两人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，若两人的选择互不影响，则两人从同一城门进城的概率为1
C.用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色(街道忽略)，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有60种不同的染色方法
D.若将街道看成直线，则图中矩形ABCD区域中共有不同矩形150个
答案ABD
解析A项，如图1所示，
从延平门到安化门，最近的路线是从图1中点M到点N，只能横向往右走纵向往下走，所以共有C62＝15(条)，故
B项，甲、乙两人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，因为两人的选择互不影响，所以两人进城共有9种不同的情况，两人从相同城门进城有3种情况，所以两人从同一城门进城的概率为13，故B
C项，如图2所示，
用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色，若四个位置颜色各不相同，则有A44＝24(种)