全景式数学视野下“三角形内角和”的教学与思考
【摘要】本文基于全景式数学教育理念和皮亚杰心理发展理论设计“三角形内角和”的教学，构建了“测量—操作—发现—推理—拓展”的学习路径，学生在对误差的质疑中经历完整的认知过程，逐步从操作走向推理，从形象走向抽象，数学文化与非欧几何的融入拓展了学生的认知边界，深化对三角形内角和理解的同时链接了未来的学习。
【关键词】三角形内角和实验操作分析推理非欧几何全景式数学教育
“三角形内角和”是北师大版数学四年级下册的教学内容，教材按照“情景启动—度量发现—操作验证—得出结论”这样的学习路径进行编排。通过量一量、拼一拼、折一折等操作活动，引导学生用实验的方法得出“三角形的内角和是180°”的结论。
一般的教学思路是先让学生测量三角形三个内角的度数并求和，再组织学生通过剪、拼、折等操作活动将三个内角移到一起组成一个平角，得出“三角形内角和是180°”的结论。学生在实际测量过程中经常会碰到量出来的三个内角的和并不是180°的情况，或偏大一点，或偏小一点;还有的学生为确保量的结果是180°而只量两个角，然后用180°减去两个角的和，从而求出第三个角的度数。学生用“剪”“撕”的方法时，混淆了原三角形的内角和新生成的角，拼不成平角，还有学生不知道如何把三个内角折成平角。
纵观整个教学过程，学生虽经历了动手实践、合作探究等过程，但他们的活动始终在结论范围内，整个过程少了一些应具备的数学理性思考。
一、基于全景式教育理论和皮亚杰心理理论的教学思考
全景式数学教育认为：“学习是从孩子该开始、想开始的地方开始。”实际上，在教学之前，很多学生已经知道三角形内角和是180°，却是“知其然不知其所以然”。
实际教学时，当学生量出来的三个内角和不是180°时，我们会告诉学生，测量有误差。其实，学生也会产生质疑，测量会有误差，难道拼、折等活动过程中就没有误差吗？如果有误差，怎么能确认拼接起来的就是真正的“平角”呢？如果不能确认拼出的是平角，那么这个180°是如何認定的呢？
任何操作都无法完全避免误差，学生在量、拼、折的操作活动中“凭借自己的眼睛”得出的结论只能说明三角形内角和是180°的可能性最大，要想严谨、规范地证明结论，则需要用到有关的几何定理，而这超出了小学阶段的学习范畴。
在全景式数学教育课堂中要想做到既让学生“知其然”，又让学生“知其所以然”，需要重新思考以下问题：怎样的操作活动能让学生心服口服？对于小学生来说，有没有办法从数学的角度来验证？如何设计教学才能做到形象与抽象、直观与理性有机融合呢？整个教学过程能给学生的思考力带来哪些增量？
瑞士心理学家皮亚杰指出，每一个结构都是心理发生的结果，而心理发生就是从一个较初级的结构过渡到一个不那么初级的（或复杂的）结构。他强调，认知的获得必须用一个将结构主义和构建主义紧密结合起来的理论来说明。可见，在皮亚杰看来，心理发展是在主客体相互作用的基础上，通过主体不断构建心理结构而实现的。因此，在教育活动中必须努力促进学生逐步形成“心理结构导致学习活动，学习活动使心理结构得到发展”的永无止境的互惠循环关系，从而使个体的心理结构不断地发展，并逐步达到成熟的水平。
以上述理论为依据重新设计三角形内角和的教学，构建了“测量—操作—发现—推理—拓展”的认知历程和思考过程，让学习逐步从操作走向推理，从形象走向抽象，培养学生的几何直观能力，为后续学习证明奠定基础，深化对数学知识的理解。
二、基于全景式教育理念和认知科学的教学实践路径
（一）动手操作不断激发学生思考发现
苏霍姆林斯基说：“运用直观的手段，绝不是为了整节课抓住学生的注意力不放，而是为了在教学的某一阶段上使儿童摆脱形象，在思维上过渡到概括性的真理和规律上去。”从哲学视角观察，探索三角形内角和是意义复原的过程，从多角度、多向度理解三角形内角和与180°的结构联系;从知识结构视角观察，这是学生经历沟通对话、相互融合之后的一种“获得”，是外在数学结构在学生个体心理上的投射。
在教学中，学生经历了四次操作。第一次是测量求和，第二次是拼平角，两次操作之后还是不能确定三角形的内角和是180°，学生会产生这样的疑问：我的操作和已有结论为什么不一样？学生思维“卡壳”后，在教师的提示下学生进行第三次操作“转笔实验”，建立内角和与180°的内在联系。第四次操作引导学生想象，并引入极限思想。经历这四次操作，学生的思维被激活，从形象逐渐发展到抽象，在此过程中积极、主动地建构良好的认知结构。正因为学生的大脑中产生了“问题”，学生才会循着线索不断思考，不断深入，并广泛联结，从而达到融会贯通的程度。
活动1：量一量
（1）测量内角，求和并记录。
学生分小组活动，并完成书本上的记录单，在此过程中强调数据要真实。
（2）小组汇报交流测量结果。
思考：通过测