§2.13函数与方程的综合应用
重点解读函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容,经常以客观题出现,通过分析函数的性质,结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等,题目难度较大,一般出现在压轴题位置.
题型一由零点分布求值(范围)
命题点1二次函数的零点分布
例1(多选)已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m的两个零点分别为x1,x2,且x1x2,则下列结论正确的是()
A.当x10且x20时,0m1
B.当x11且x21时,m1
C.当－2x10且0x24时,m－4
D.当x12且x24时,m－4
答案ABD
解析对于A,由题意得x1＋x2＝3-m
对于B,f(1)＝2m－20,解得m1,B正确；
对于C,f(-2)＝10-m0,f(0)＝
对于D,f(2)＝3m-20,f(4)
命题点2其他函数的零点分布
例2已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0,当x∈(0,1]时,f(x)＝－log2x,若函数F(x)＝f(x)－sinπx在区间[－1,m]上有10个零点,则m的取值范围是()
A.[3.5,4) B.(3.5,4]
C.(5,5.5] D.[5,5.5)
答案A
解析由f(2－x)＋f(x)＝0?f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2),得f(x)是一个周期为2的奇函数,
当x∈(0,1]时,f(x)＝－log2x,
因此f?12＝－log212＝1,f(1)
所以f(0)＝0,f?-12＝－1,f(－1)
且g(x)＝sinπx的周期为T＝2ππ＝2
且g(－1)＝0,g-12＝－1,g(0)＝0,g12＝1,g(1)
求F(x)＝f(x)－sinπx的零点个数,
即求f(x)与g(x)图象的交点个数,
如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象,
因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数,
因此交点也呈周期出现,
若在区间[－1,m]上有10个零点,即两函数图象在[－1,m]上有10个交点,
则第10个交点坐标为(3.5,－1),第11个交点坐标为(4,0),因此3.5≤m4.
思维升华对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴,主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式,决定函数与x轴的交点个数；
(4)区间端点值.
跟踪训练1(1)设方程x2－2ax－a＝0的两实根满足x1x21,则实数a的取值范围为()
A.-
B.-∞,-13∪(
C.(－∞,－1)∪0,
D.-1,
答案C
解析设f(x)＝x2－2ax－a,则其图象的对称轴方程为x＝a,
由x1x21可得a
解得a－1或0a13
(2)已知函数f(x)＝4x＋6,x≤0,|lnx|,x0,若g(x)＝f(x)－m恰有3个零点x1,x2,x3
A.-32,0
C.(－∞,0] D.(－∞,0)
答案B
解析不妨设x1x2x3,
由图可知,当0m≤6时,直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点,
且有－32x1≤0,0x21x3
由f(x2)＝f(x3),即|lnx2|＝|lnx3|,
得lnx3＝－lnx2,
所以lnx2＋lnx3＝ln(x2x3)＝0,
即x2x3＝1,故x1x2x3＝x1∈-3
题型二复合函数的零点
命题点1复合函数的零点个数判定
例3(多选)已知函数f(x)＝x2-kx＋1,x≤0,log2x,x0,下列关于函数y
A.当k1时,有1个零点
B.当k1时,有3个零点
C.当k0时,有9个零点
D.当k＝－4时,有7个零点
答案AD
解析由f(f(x))＋1＝0,得f(f(x))＝－1,
则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数即为方程f(f(x))＝－1解的个数,
设t＝f(x),则f(t)＝－1,二次函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上,过点(0,1),对称轴为直线x＝k
当k1时,y＝x2－kx＋1在(－∞,0]上单调递减,且y≥1,如图,
由f(t)＝－1,得log2t＝－1,解得t＝1
由f(x)＝t,得log2x＝12,解得x
因此当k1时,函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是1,A正确,B错误；
当k＝－4时,f(x)＝x
作出函数f(x)的图象,如图,
由图象知函数f(x)的值域为R,
令t＝f(x),则f(t)＝－1有3个根,
当t0时,log2t＝－1,解得t＝12
当t≤0时,t2＋4t＋1＝－1,解得t＝－2±2
当t＝12,即f(x)＝1
若x0,则log2x＝12,解得x
若x≤0,则x2＋4x＋1＝12,解得x＝－2±142
当t＝－2＋2,即f(x)＝－2＋2时,若x0,则log2x＝－2＋2有1个解
若x≤0,则x2＋4x＋1＝－2＋2,即(