§7.2球的切、接问题
重点解读球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决.
一、正方体与球
1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a.
2.棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长2a.
3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长3a.
二、长方体与球
外接球：外接球直径2R=体对角线长a2+b2+c2
三、正四面体的外接球、内切球
若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h=63a，R=64a，r=612a，R∶r
四、正棱锥与球
1.内切球：V正棱锥=13S表·r=13S底·h(等体积法)，r是内切球半径，
2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h).
五、直棱柱的外接球
球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=?22+r2(直棱柱的外接球半径为R，高为h，底面外接圆半径为
六、圆柱的外接球
R=?22+r2(R
七、圆锥的外接球
R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).
题型一特殊几何体的切、接问题
例1(1)(2024·渭南模拟)已知正三棱锥S-ABC，高为22，AB=2，则其内切球与外接球的半径之比为()
A.13 B.25 C.27
答案C
解析由题意可知，正三棱锥S-ABC的顶点S在底面△ABC内的投影为△ABC的中心P，如图，
设内切球半径为r，外接球球心为O，半径为R，
∴CD=32×2=3
∴CP=23CD=233，DP=13
∴SD=SP2+DP
∴S△SAB=12×2×533=533，S△ABC=12×2×
∴S表面积=3S△SAB+S△ABC=63，
V三棱锥S-ABC=13×3×22=13×63×r?r=
又在Rt△COP中，OC2=CP2+OP2，
∴R2=2332+(22-R)2?R
∴rR=237
(2)(2025·哈尔滨模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=1，AA1=4，∠BAC=2π3，则球O
A.16π B.20π C.28π D.32π
答案B
解析如图所示，设底面△ABC的外接圆的圆心为O1，底面△A1B1C1的外接圆的圆心为O2，在△ABC中，
由余弦定理得BC=1+1?2×1×
设底面△ABC的外接圆的半径为r，
由正弦定理得2r=BCsin∠BAC=2，即O1A
又直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心为O，设外接球的半径为R，
在Rt△OO1A中，可得R=O
=O1A2+O
所以球O的表面积S=4πR2=4π×(5
思维升华特殊几何体的内切球、外接球问题，主要是利用球的定义找球心，然后利用解三角形求半径；对于棱锥的内切球的半径，可利用等体积法求.
跟踪训练1(1)(2024·吉林模拟)已知圆锥的底面半径为2，母线长为22，则这个圆锥的内切球半径为()
A.263 B.33 C.2
答案D
解析设圆锥的高为h，
因为圆锥的底面半径r=2，母线长l=22，
则h=(22)2
易知圆锥的轴截面为等边三角形，
设圆锥的内切球半径为R，则(6?R)2=R2+(
(2)(2024·菏泽模拟)已知正三棱台的上、下底面边长分别为23，43，体积为423，则该正三棱台的外接球表面积为()
A.20π B.803π C.80π D.160
答案C
解析设给定的正三棱台为正三棱台ABC-A1B1C1，即A1B1=23，AB=43，
设正△A1B1C1，正△ABC的中心分别为O1，O2，而S△A1B1C1=34×(23)2=33
则正三棱台的体积V=13×(33+33×123+123)·O1O2=423，解得O
△A1B1C1的外接圆半径r1=23×32×23
△ABC的外接圆半径r=4，
显然正三棱台的外接球球心O在直线O1O2上，
设外接球半径为R，OO1=x，
则OO2=|6-x|，因此R2=x2+22=(6-x)2+42，
解得x=4，R2=20，
所以该正三棱台的外接球表面积S=4πR2=80π.
题型二补形法
例2(1)(2025·宝鸡模拟)已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，BC=2，PA=23，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为()
A.28π B.77π C.14π D.28
答案D
解析将三棱锥P-ABC补形成直三棱柱，如图，其中O为△ABC外接圆的圆心，O为所得三棱柱外接球的球心，也即三棱锥P-ABC外