§7.7向量法求空间角(一)
课标要求能用向量法解决异面直线所成角、直线与平面所成角的问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.
1.异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ=|cos〈u，v〉|=|u
2.直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ=|cos〈u，n〉|=u·n|
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(×)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(×)
(3)两异面直线所成角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，
(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sinθ=cos〈u，n〉.(×)
2.若直线l的一个方向向量u=(1，0，1)，平面α的一个法向量n=(0，-1，1)，则l与α所成角的大小为()
A.π6 B.
C.π3或2π3 D.π
答案A
解析设l与α所成角为θ0≤
因为直线l的一个方向向量u=(1，0，1)，平面α的一个法向量n=(0，-1，1)，
所以sinθ=|cos〈u，n〉|=12×2
因为0≤θ≤π2，所以θ=π
3.已知直线l1的方向向量s1=(1，0，1)与直线l2的方向向量s2=(-1，2，-2)，则直线l1和l2所成的角为()
A.π6 B.π4 C.π3
答案B
解析设直线l1与l2所成的角为θ，
因为s1=(1，0，1)，s2=(-1，2，-2)，
所以cosθ=|cos〈s1，s2〉|=|s1·s2
又θ∈0，π2，所以θ
4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为.?
答案30
解析建立如图所示的空间直角坐标系.
设BC=CA=CC1=2，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，
N(1，0，2)，所以BM=(1，-1，2)，AN=(-1，0，2).
设BM与AN所成的角为θ，
则cosθ=|cos〈BM，AN〉|=|
=36×5
所以BM与AN所成角的余弦值为3010
1.斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中的最小角.
2.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ=|cos〈a，n〉|.
题型一异面直线所成的角
例1(1)如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，F分别为母线BC，AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为()
A.π4 B.π3 C.π2
答案C
解析取AB的中点O，连接OC，OD，如图，以OD，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则B(0，1，0)，D(1，0，0)，C(0，0，3)，A(0，-1，0)，
又E，F分别为母线BC，AC的中点，
所以E0，12，
则BF=0，?32，
设异面直线BF和DE所成的角为θ，
则cosθ=|cos〈BF，DE〉|=|BF·DE||BF||DE|=?3
(2)(2024·吉安模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，G为线段B1D1上的动点，则异面直线AG与EF所成角的最大值为()
A.π6 B.π4 C.π3
答案C
解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，G(a，a，2)，a∈[0，2]，
∵E，F分别为AB，BC的中点，则A(2，0，0)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，
故AG=(a-2，a，2)，EF=(-1，1，0)，
设两异面直线所成的角为α，其中α∈0，
故cosα=|AG·EF||
∵a∈[0，2]，则当a=0或a=2时，cosα取得最小值，最小值为12
又∵y=cosα在0，
则α的最大值为π3
思维升华用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)用坐标表示异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)注意异面直线所成角的范围是0，π
跟踪训练1(1)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为()
A.36 B.63 C.13
答案A
解析连接AC与BD交于点