§7.8向量法求空间角(二)
课标要求1.能用向量法解决平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.2.弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题.
平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ=|cos〈n1，n2〉|=|n
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.(×)
(2)两个平面的夹角的余弦值大于0.(×)
(3)二面角的范围是(0，π).(×)
(4)若二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量n1，n2的夹角为θ，则二面角α-l-β的大小是π-θ.(×)
2.已知二面角α-l-β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为m=(0，1，0)，n=(0，1，1)，则θ为()
A.π4 B.
C.π4或3π4 D.π
答案C
解析∵m=(0，1，0)，n=(0，1，1)，
∴m·n=1，|m|=1，|n|=2，
则|cosθ|=|cos〈m，n〉|=|m·n
又θ∈[0，π]，∴θ=π4或3π
3.(2024·酒泉模拟)设a=(1，1，0)，b=(t，0，1)分别为两平面的法向量，若两平面的夹角为60°，则t等于()
A.1 B.-1 C.-1或1 D.2
答案C
解析因为法向量a，b的夹角与两平面的夹角相等或互补，所以(1，1，0)·
4.(2024·安康模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，AE⊥平面ABCD，若AE=1，则平面ADE与平面BCE的夹角为.?
答案45°
解析因为AE⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，
如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，E(0，0，1)，所以BC=(0，1，0)，BE=(-1，0，1)，
设平面BCE的法向量为n=(x，y，z)，
则n·BC=y=0,n·BE=?x
又平面ADE的一个法向量为m=(1，0，0)，
设平面ADE与平面BCE的夹角为θ，则cosθ=|m·n||m||n|=2
1.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0，
2.若平面α与平面β的夹角为θ1，平面α内的直线l与平面β所成角为θ2，则θ1≥θ2，当l与α和β的交线垂直时，取等号.
题型一平面与平面的夹角
例1(2024·新课标全国Ⅰ)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3.
(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为427，求AD
(1)证明因为PA⊥平面ABCD，
而AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA=P，PB，PA?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，
而AB?平面PAB，所以AD⊥AB.
因为BC2+AB2=AC2，所以BC⊥AB，
根据平面知识可知AD∥BC，
又AD?平面PBC，BC?平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
(2)解以D为原点，DA，DC的方向分别为x轴、y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=p，DC=q，
满足p2+q2=AC2=4.
则A(p，0，0)，P(p，0，2)，C(0，q，0)，D(0，0，0).
设平面APC的法向量为m=(x1，y1，z1)，
因为AP=(0，0，2)，AC=(-p，q，0)，
所以AP·m=2z1=0,AC·m=?p
设平面DPC的法向量为n=(x2，y2，z2)，
因为DP=(p，0，2)，DC=(0，q，0)，
所以DP
取n=(2，0，-p).
所以|cos〈m，n〉|=|m·
=1?42
又因为p2+q2=4，所以qp2+4
解得p=3(负值舍去)，即AD=3.
利用法向量的方向判断二面角
二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m，n“一进一出”时，m，n的夹角就是二面角的大小；当法向量m，n“同进同出”时，m，n的夹角就是二面角的补角.
典例在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为棱AB的中点，则二面角D1-EC-D的余弦值为.?
答案6
解析建立如图所示的空间直角坐标系，
由AD=AA1=1，AB=2，得E(1，1，1)，C(0，2，1)，D1(0，0，