§10.5事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
课标要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.
1.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)=P(AB)P(
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)=n(
②概率的乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A).
(3)条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)0，则
①P(Ω|A)=1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
③设B和B互为对立事件，则P(B|A)=1-P(B|A).
3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)=nΣi=1P(Ai)P(B|A
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(×)
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率.(√)
(3)抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚正面朝上”为事件B，则A，B相互独立.(√)
(4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B?Ω，都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).(√)
2.某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互不受影响.若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为34，在续航测试中结果为优秀的概率为2
A.712 B.12 C.512
答案C
解析根据题意可得该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为14×23+34×1
3.统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是45，连续罚中两次的概率是3
A.1225 B.45 C.34
答案C
解析记“第一次罚球命中”为事件A，“第二次罚球命中”为事件B，
由题意可知P(A)=45，P(AB)=3
所以P(B|A)=P(AB)
4.(2024·武威统考)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3，0.7，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6，0.8，则甲正点到达目的地的概率为.?
答案0.74
解析由全概率公式得甲正点到达目的地的概率为P=0.7×0.8+0.3×0.6=0.56+0.18=0.74.
1.理清“相互独立”和“事件互斥”的区别
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥.
2.不要混淆P(B|A)与P(A|B)
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率.
题型一相互独立事件
命题点1事件相互独立性的判断
例1(多选)(2024·河池模拟)口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件A=“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”，事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出的两球不同色”，则()
A.P(C)=1
B.A与C相互独立
C.A与D相互独立
D.B与D相互独立
答案BD
解析依题意P(A)=A22+A22A42=13，P(B)=C21C31A42=12，P
因为P(AC)=A22A42=16，则P(AC)=P(A)P(C)，所以事件
因为P(AD)=0≠P(A)P(D)，所以事件A与D不相互独立，故C错误；
因为P(BD)=C21C21A42=13，则P(BD)=P(B)P(
命题点2相互独立事件的概率
例2小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，a，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为1
A.12 B.13 C.14
答案C
解析记小刚答对A，B，C三道题分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且P(D)=P(E)=a，P(F)=12
恰好能答对两道题为事件DEF+DEF+DEF，且DEF，DEF，DEF两两互斥，
所以P(DEF+DEF+DEF)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)
=P(D)P(E)P(F)+P(D