§7.2球的切、接问题
重点解读球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决.
一、正方体与球
1.内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a.
2.棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长2a.
3.外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长3a.
二、长方体与球
外接球：外接球直径2R＝体对角线长a2+b2+c2(a
三、正四面体的外接球、内切球
若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h＝63a，R＝64a，r＝612a，R∶r＝3
四、正棱锥与球
1.内切球：V正棱锥＝13S表·r＝13S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h
2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝(h－R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h).
五、直棱柱的外接球
球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2＝h22+r2(直棱柱的外接球半径为R，高为h，底面外接圆半径为r
六、圆柱的外接球
R＝h22+r2(R是圆柱外接球的半径，h
七、圆锥的外接球
R2＝(h－R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).
题型一特殊几何体的切、接问题
例1(1)(2024·渭南模拟)已知正三棱锥S－ABC，高为22，AB＝2，则其内切球与外接球的半径之比为()
A.13 B.25 C.27
(2)(2025·哈尔滨模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝4，∠BAC＝2π3，则球O的表面积为(
A.16π B.20π C.28π D.32π
思维升华特殊几何体的内切球、外接球问题，主要是利用球的定义找球心，然后利用解三角形求半径；对于棱锥的内切球的半径，可利用等体积法求.
跟踪训练1(1)(2024·吉林模拟)已知圆锥的底面半径为2，母线长为22，则这个圆锥的内切球半径为()
A.263 B.33 C.2
(2)(2024·菏泽模拟)已知正三棱台的上、下底面边长分别为23，43，体积为423，则该正三棱台的外接球表面积为()
A.20π B.803π C.80π D.160
题型二补形法
例2(1)(2025·宝鸡模拟)已知三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，∠BAC＝30°，BC＝2，PA＝23，则三棱锥P－ABC的外接球的体积为()
A.28π B.77π C.14π D.28
(2)已知三棱锥S－ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA＝BC＝2，SB＝AC＝7，SC＝AB＝5，则球O的表面积是.
思维升华常见的补体
(1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，补成长方体，如图①.
(2)有一条侧棱垂直于底面的棱锥，补成直棱柱，如图②.
(3)(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等，补成长方体，则每组对棱为长方体的面对角线，如图③.
跟踪训练2(1)(2024·辽阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，AD＝4，则该四棱锥外接球的表面积为()
A.34π B.234π C.34π D.136π
(2)(2024·唐山模拟)在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，CA＝CB＝PA＝2，AC⊥BC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为()
A.23π B.33π C.43π D.123π
题型三垂面法
例3(2024·双鸭山模拟)已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝AC＝CD＝2，BC⊥CD，则球O的表面积为()
A.16π3 B.8π C.28π3 D
思维升华找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.
跟踪训练3(2024·武汉模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为23的正方形，侧面APB⊥底面ABCD，△APB为正三角形，则四棱锥P－ABCD的外接球的表面积为()
A.40π B.28π C.287π3
答案精析
探究核心题型
例1(1)C[由题意可知，正三棱锥S－ABC的顶点S在底面△ABC内的投影为△ABC的中心P，如图，
设内切球半径为r，外接球球心为O，半径为R，
∴CD＝32×2＝3
∴CP＝23CD＝2
DP＝13CD＝3
∴SD＝S
＝(22
∴S△SAB＝12×2×533＝533，S△ABC＝1
∴S表面积＝3S△SAB+S△ABC＝63，
V三棱锥S－ABC＝13×3×2