1主讲：朱祥荣湖州师范学院理学院第二章波函数和薛定谔方程线性谐振子
2无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的模型。体系在稳定平衡点附近的运动一般可以近似地看作一维谐振子，如双原子分子的振动、晶体结构中原子和离子的振动、核振动等等，辐射场也可以看作线性谐振子的集合。比如，双原子分子中两原子间的势能是两原子间距离的函数，其形状如图所示。取新坐标原点为(a,V0)§2.7线性谐振子
3在经典力学中，当质量为的粒子，受弹性力作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：其解为。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子称为（线性）谐振子。经典允许的振动范围1.经典谐振子谐振子能量：§2.7线性谐振子
4量子力学中的线性谐振子是指在势场中运动的质量为的粒子。（求解步骤如下）2.量子谐振子（1）Schr?dinger方程Hamiltonoperator定态Schr?dinger方程：(1)改写成§2.7线性谐振子
(2)方程的求解5于是方程（2）可写成（4）当时，方程（4）的渐近形式为（5）方程（5）在处的有限解为令（为待定常数）（2）（3）§2.7线性谐振子
6用常微分方程的幂级数解法求厄米方程（7）满足有限性条件（8）的有限解，可得厄米方程本征值问题的本征值：(详细求解，大家可以参阅教材附录II)(8)（称为厄米方程）(7)(9)令方程（4）的解（6）代入方程（4）可得满足的微分方程§2.7线性谐振子
（3）线性谐振子的本征能量7由(2)和(9)式,即由和得本征能量:(10)§2.7线性谐振子（4）线性谐振子的能量本征函数对不同的n，方程（7）有不同的解:称为厄米多项式由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次幂是n，其系数是2n。(11)
8几个厄密多项式从上式出发，可导出厄密多项式的递推关系§2.7线性谐振子线性谐振子的能量本征函数可表示(12)由归一化条件
9并运用积分公式：求得归一化常数(13)(14)归一化的本征函数§2.7线性谐振子本征波函数(15)
讨论101.能量的本征值：（1）能量谱为分离谱，两能级的间隔为（2）对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的，每个能级的简并度为1（一能级对应的量子态数称为该能级的简并度）（3）基态能量：（又称零点能）零点能不等于零是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应，已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实。§2.7线性谐振子
112.具有宇称上式谐振子波函数所包含的是的偶函数，所以的宇称由厄密多项式的宇称决定。由于的最高次项是。当偶数，则厄密多项式只含ξ的偶次项(偶宇称)；当奇数，则厄密多项式只含ξ的奇次项(奇宇称)。所以,具有宇称。§2.7线性谐振子
123.本征函数与概率密度§2.7线性谐振子
13§2.7线性谐振子
14n=10时谐振子的几率密度§2.7线性谐振子
15（1）经典振子与量子振子出现的区域不完全相同。量子振子可以出现在经典振子不能到达的区域。（如图）（2）当线性谐振子在前几个量子态时（n=0,1,2,3,…）时，经典几率密度与量子差别很大（n较小），当n增大时（例n=10）,经典与量子在平均上已相当符合，差别在于量子几率密度|ψ|2迅速振荡而已。（3）从以上本征函数与几率密度曲线图看出，量子力学的谐振子波函数ψn有n个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在[-a,a]区间每一点上都能找到粒子，没有节点。§2.7线性谐振子