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第03讲三角形中的“四心问题”与奔驰定理在平面向量中的应用
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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
举一反三：核心考点能举一反三，能力提升
复习提升：真题感知+提升专练，全面突破
知识点01三角形的重心
1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、
、，，则有.
知识点02三角形的外心
1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
在平面向量的应用：若点是△的外心，则或
；
知识点03三角形的内心
1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心
2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等
②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3、内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形
在平面向量的应用：若点是△的内心，则有
知识点04勾股定理证明
四、三角形的垂心
1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
在平面向量的应用：若是△的垂心，则或
知识点05勾股定理证明
一、奔驰定理
1.奔驰定理：O是△ABC内一点，且xOA+y
2.奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且xOA
=1\*GB3①S?BOC?S?AOC
=2\*GB3②S?BOCS?ABC
由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理.
二、奔驰定理的证明
奔驰定理：是内一点，且，则
已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：
法一证明：延长与边相交于点则
法二证明：延长OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O为△A1B1C1的重心.
三、三角形四心与奔驰定理的关系及证明
①是的重心：．
证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得
②是的内心：
证明：，，（为内切圆的半径），所以
，再由奔驰定理可得
③是的外心：．
证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得
④是的垂心：
证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得
【考点一：重心】
一、单选题
1．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据重心的性质及向量的线性运算可得解.
【详解】
如图所示，
设为中点，
又为的重心，
则，
故选：B.
2．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（???）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由题可得，结合重心性质及平面向量基本定理可得答案.
【详解】因，则.
又，由平面向量基本定理可得：
.
则，，故三角形是等腰直角三角形.
故选：D
3．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（????）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【答案】A
【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答.
【详解】因为，，
则
若设中的的中点为，有，
则.
所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心．
故选：A．
4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形重心的性质可得，结合条件及向量共线的推论，即可求出结果.
【详解】如图，因为为的重心，所以在中线上，且，
又，所以，
设，所以，
又，所以，又三点共线，
所以，得到，所以，
故选：C.
5．（23-24高一下·天津·期中）已知G是的重心，若，则（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分