§2.7指数运算与对数运算
课标要求1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.掌握指数、对数运算在实际问题中的应用.
1.根式
(1)一般地,如果xn＝a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且n∈N*.
(2)式子na叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数
(3)(na)n＝a
当n为奇数时,nan
当n为偶数时,nan＝|a
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂：amn＝nam(a0,m,n∈N
正数的负分数指数幂：a-mn＝1amn＝1nam(a
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a0,b0,r,s∈R).
4.对数的概念
一般地,如果ax＝N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数,记作lgN.?
以e为底的对数叫做自然对数,记作lnN.?
5.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0,logaa＝1,alogaN＝N(a0,且a≠1
(2)对数的运算性质
如果a0,且a≠1,M0,N0,那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②logaMN＝logaM－logaN
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)对数换底公式：logab＝logcblogca(a0,且a≠1；b0；c0
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)4(-4)4＝－4.(
(2)若M＝N,则logaM＝logaN.(×)
(3)2a·2b＝2ab.(×)
(4)lg2＋lg5＝1.(√)
2.(多选)下列运算正确的有()
A.lg2＋lg3＝lg5
B.log3100＝10log310
C.4log
D.log34·log43＝1
答案CD
解析lg2＋lg3＝lg6,故A错误；
log3100＝2log310,故B错误；
4log45＝5
log34·log43＝1,故D正确.
3.若a25＝425(a0且a≠1),则loga
A.254 B.2 C.15 D
答案C
解析由a25＝4
∴loga252＝2
∴loga25
4.2723＋4log43
答案11
解析2723＋4log43－lg5－lg2＝(33)23＋3－(lg5＋lg2)＝32＋3
1.灵活应用化简指数幂常用的技巧
(1)ba-p＝a
(2)a＝(a1m)m,anm＝(a1
(3)1的代换,如1＝a－1a(a0),1＝a-12a1
(4)乘法公式的常见变形,如(a12＋b12)(a12－b12
(a12±b12)2＝a±2a12b12
(a13＋b13)(a23?a13b1
2.谨防两个失误点
(1)凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时,注意指数和对数中的和积之间的转化.
题型一指数运算
例1(1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)()
A.a
B.4a4
C.(62
D.a-2
答案ABC
解析对于A,a46
对于B,4a4＝|a|＝a,
对于C,(62)2＝62×
对于D,a-23
(2)(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)()
A.0.2512＋(5π
B.278-23－4990.5＋(0.008)
C.(23a2·b)(－6a·3b)÷(－36a·
D.若x12
答案BD
解析对于A,0.2512＋(5π)0－2－1＝0.
对于B,278-23－4990.5＋(0.008)-23×125＋(π－1)0＝32-2－7
对于C,原式＝(2a23b12)(－6a12b13)÷(－3a16b56)＝[2×(－6)÷(－
对于D,当x12＋x-12＝6时,(x12＋x-12)2＝x＋2＋x－1＝6,得x＋x－1＝4,由(x＋x-1)2＝
思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意：
①必须同底数幂相乘,指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
跟踪训练1计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)14-1
(2)0.125
解(1)14-
＝412·(4ab-1
(2)0.
＝123-13－1＋
＝2＋1＋8×9＝75.
题型二对数运算
例2(1)(多选)下列运算中正确的是()
A.log37lo
B.8
C.x＝lnex
D.12-log26＋