§2.9对数函数
课标要求1.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.2.了解指数函数y=ax(a0，且a≠1)与对数函数y=logax(a0，且a≠1)互为反函数.
1.对数函数的图象与性质
a1
0a1
图象
定义域
(0，+∞)
值域
R
性
质
过定点(1，0)，即x=1时，y=0
当x1时，y0；
当0x1时，y0
当x1时，y0；
当0x1时，y0
增函数
减函数
2.反函数
指数函数y=ax(a0，且a≠1)与对数函数y=logax(a0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=loga2x(a0，且a≠1)是对数函数.(×)
(2)对数函数y=logax(a0，且a≠1)是增函数.(×)
(3)对数函数y=logax(a0，且a≠1)的图象恒过定点(1，0).(√)
(4)函数y=log2x与y=log12x的图象关于x轴对称.(√
2.函数f(x)=1x?2+ln(
A.(1，+∞) B.(1，2)∪(2，+∞)
C.(-∞，1) D.(0，2)∪(2，+∞)
答案B
解析因为f(x)=1x?2+ln(x
所以要使函数有意义，则x
解得x1且x≠2，
所以f(x)的定义域为(1，2)∪(2，+∞).
3.函数f(x)=loga|x|+1(a1)的图象大致为()
答案A
解析f(x)=loga|x|+1的定义域为{x|x≠0}，
因为f(-x)=loga|-x|+1=loga|x|+1=f(x)，
所以f(x)是偶函数，
当x∈(0，+∞)时，f(x)=logax+1(a1)单调递增.
结合选项可知选A.
4.若对数函数f(x)经过点(4，2)，则它的反函数g(x)的解析式为.?
答案g(x)=2x
解析设f(x)=logax(a0，且a≠1)，函数过点(4，2)，即f(4)=loga4=2，即a=2，即f(x)=log2x，则它的反函数g(x)的解析式为g(x)=2x.
1.掌握三个对数函数图象的特点
(1)不论a1还是0a1，对数函数y=logax(a0，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交.
(2)不论a1还是0a1，对数函数y=logax(a0，且a≠1)的图象都经过点1a，?1，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y=logax(a0，且a
(3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，其中图象(C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d)的相对位置与底数大小有关.图中0cd1ab.
2.谨防两个易误点
(1)凡涉及对数型函数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在解决对数型复合函数时，当底数a的范围没有明确时，必须分0a1和a1两种情况讨论.
题型一对数函数的概念与图象
例1(1)下列选项正确的是()
A.若函数f(x)=loga-1x+a2-5a+6是对数函数，则a=3或a=2
B.函数f(x)=4?x
C.函数f(x)=loga(4x-3)(a0，且a≠1)的图象过定点(1，0)
D.函数f(x)=log2(x2-2x)的单调递增区间是(1，+∞)
答案C
解析对于A，a
解得a=3，A错误；
对于B，依题意有4?x≥0，ln(x?1)≠0，x?10，解得1
对于C，令4x-3=1，解得x=1，则f(1)=loga1=0，C正确；
对于D，x2-2x0?x∈(-∞，0)∪(2，+∞)，可知当x2时，y=x2-2x单调递增，当x0时，y=x2-2x单调递减，结合复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，故D错误.
(2)已知函数f(x)=|lgx|，0x≤10，?12x+6，x10，若a，b，c互不相等，且f
A.[10，12] B.(10，12]
C.(10，12) D.[10，12)
答案C
解析不妨设abc，作出函数f(x)的图象，如图所示，
由图象可知0a1b10c12，
由f(a)=f(b)，得|lga|=|lgb|，
即-lga=lgb，
∴lgab=0，则ab=1，
∴abc=c，又10c12，
∴abc的取值范围是(10，12).
思维升华对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
跟踪训练1(1)(多选)函数f(x)=logax(a0，且a≠1)，下列说法正确的是()
A.f(x)为增函数
B.函数