基本信息
文件名称:第二章 §2.9 对数函数.docx
文件大小:1.07 MB
总页数:15 页
更新时间:2025-06-12
总字数:约1.02万字
文档摘要

§2.9对数函数

课标要求1.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.2.了解指数函数y=ax(a0,且a≠1)与对数函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数.

1.对数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

定义域

(0,+∞)

值域

R

性质

过定点(1,0),即x=1时,y=0

当x1时,y0;

当0x1时,y0

当x1时,y0;

当0x1时,y0

增函数

减函数

2.反函数

指数函数y=ax(a0,且a≠1)与对数函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y=loga2x(a0,且a≠1)是对数函数.(×)

(2)对数函数y=logax(a0,且a≠1)是增函数.(×)

(3)对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象恒过定点(1,0).(√)

(4)函数y=log2x与y=log12x的图象关于x轴对称.(√

2.函数f(x)=ln(4-x)x-3

A.(-∞,4) B.(3,4)

C.(-∞,3)∪(3,4) D.(-∞,3)∪(3,+∞)

答案C

解析因为f(x)=ln(4-

所以要使函数有意义,

则4-x0,x-3≠0,解得x

所以f(x)的定义域为(-∞,3)∪(3,4).

3.函数f(x)=loga|x|+1(a1)的图象大致为()

答案A

解析f(x)=loga|x|+1的定义域为{x|x≠0},

因为f(-x)=loga|-x|+1=loga|x|+1=f(x),

所以f(x)是偶函数,

当x∈(0,+∞)时,f(x)=logax+1(a1)单调递增.

结合选项可知选A.

4.若对数函数f(x)经过点(2,1),则它的反函数g(x)的解析式为.?

答案g(x)=2x

解析设f(x)=logax(a0且a≠1),函数过点(2,1),即f(2)=loga2=1,即a=2,f(x)=log2x,它的反函数g(x)的解析式为g(x)=2x.

1.掌握三个对数函数图象的特点

(1)不论a1还是0a1,对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象都无限靠近y轴,但不会与y轴相交.

(2)不论a1还是0a1,对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象都经过点1a,-1,(1,0),(a,1),且图象都在y轴右侧,据此可以快速画出对数函数y=logax(a0,且a≠1

(3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示,其中图象(C1,C2,C3,C4对应的底数依次为a,b,c,d)的相对位置与底数大小有关.图中0cd1ab.

2.谨防两个失误点

(1)凡涉及对数型函数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.

(2)在解决对数型复合函数时,当底数a的范围没有明确时,必须分0a1和a1两种情况讨论.

题型一对数函数的概念与图象

例1(1)(多选)下列选项正确的是()

A.若函数f(x)=loga-1x+a2-5a+6是对数函数,则a=3或a=2

B.函数f(x)=1x+ln(3+x)的定义域为(-3,0)∪(0,+∞

C.函数f(x)=loga(4x-3)(a0,且a≠1)的图象过定点(1,0)

D.f(x)=log2(x2-2x)的单调递增区间是(1,+∞)

答案BC

解析对于A,

解得a=3,A错误;

对于B,x≠0,3+x0,解得x-3

对于C,令4x-3=1,解得x=1,则f(1)=loga1=0,C正确;

对于D,x2-2x0?x∈(-∞,0)∪(2,+∞),可知当x2时,y=x2-2x单调递增,结合复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间为(2,+∞),D错误.

(2)(多选)已知函数f(x)=lnx,g(x)=lgx,若f(m)=g(n),则下列结论可能成立的为()

A.m=n B.nm1

C.m1n D.1mn

答案ABD

解析根据题意,在同一直角坐标系中画出f(x)=lnx与g(x)=lgx的图象,如图所示,

当x=1时,此时f(x)=g(x),即f(m)=g(n),故m=n=1,故A正确;

当0x1时,若f(m)=g(n),则nm1,故B正确;

当x1时,若f(m)=g(n),则1mn,故D正确.

思维升华对数函数图象的识别及应用方法

(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

跟踪训练1(1)(多选)函数f(x)=logax(a0且a≠1),下列说法正确的是()

A.当0a1时,函数在其定义域上是减函数