§2.9对数函数
课标要求1.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.2.了解指数函数y=ax(a0,且a≠1)与对数函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数.
1.对数函数的图象与性质
a1
0a1
图象
定义域
(0,+∞)
值域
R
性质
过定点(1,0),即x=1时,y=0
当x1时,y0;
当0x1时,y0
当x1时,y0;
当0x1时,y0
增函数
减函数
2.反函数
指数函数y=ax(a0,且a≠1)与对数函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=loga2x(a0,且a≠1)是对数函数.(×)
(2)对数函数y=logax(a0,且a≠1)是增函数.(×)
(3)对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象恒过定点(1,0).(√)
(4)函数y=log2x与y=log12x的图象关于x轴对称.(√
2.函数f(x)=ln(4-x)x-3
A.(-∞,4) B.(3,4)
C.(-∞,3)∪(3,4) D.(-∞,3)∪(3,+∞)
答案C
解析因为f(x)=ln(4-
所以要使函数有意义,
则4-x0,x-3≠0,解得x
所以f(x)的定义域为(-∞,3)∪(3,4).
3.函数f(x)=loga|x|+1(a1)的图象大致为()
答案A
解析f(x)=loga|x|+1的定义域为{x|x≠0},
因为f(-x)=loga|-x|+1=loga|x|+1=f(x),
所以f(x)是偶函数,
当x∈(0,+∞)时,f(x)=logax+1(a1)单调递增.
结合选项可知选A.
4.若对数函数f(x)经过点(2,1),则它的反函数g(x)的解析式为.?
答案g(x)=2x
解析设f(x)=logax(a0且a≠1),函数过点(2,1),即f(2)=loga2=1,即a=2,f(x)=log2x,它的反函数g(x)的解析式为g(x)=2x.
1.掌握三个对数函数图象的特点
(1)不论a1还是0a1,对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象都无限靠近y轴,但不会与y轴相交.
(2)不论a1还是0a1,对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象都经过点1a,-1,(1,0),(a,1),且图象都在y轴右侧,据此可以快速画出对数函数y=logax(a0,且a≠1
(3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示,其中图象(C1,C2,C3,C4对应的底数依次为a,b,c,d)的相对位置与底数大小有关.图中0cd1ab.
2.谨防两个失误点
(1)凡涉及对数型函数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在解决对数型复合函数时,当底数a的范围没有明确时,必须分0a1和a1两种情况讨论.
题型一对数函数的概念与图象
例1(1)(多选)下列选项正确的是()
A.若函数f(x)=loga-1x+a2-5a+6是对数函数,则a=3或a=2
B.函数f(x)=1x+ln(3+x)的定义域为(-3,0)∪(0,+∞
C.函数f(x)=loga(4x-3)(a0,且a≠1)的图象过定点(1,0)
D.f(x)=log2(x2-2x)的单调递增区间是(1,+∞)
答案BC
解析对于A,
解得a=3,A错误;
对于B,x≠0,3+x0,解得x-3
对于C,令4x-3=1,解得x=1,则f(1)=loga1=0,C正确;
对于D,x2-2x0?x∈(-∞,0)∪(2,+∞),可知当x2时,y=x2-2x单调递增,结合复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间为(2,+∞),D错误.
(2)(多选)已知函数f(x)=lnx,g(x)=lgx,若f(m)=g(n),则下列结论可能成立的为()
A.m=n B.nm1
C.m1n D.1mn
答案ABD
解析根据题意,在同一直角坐标系中画出f(x)=lnx与g(x)=lgx的图象,如图所示,
当x=1时,此时f(x)=g(x),即f(m)=g(n),故m=n=1,故A正确;
当0x1时,若f(m)=g(n),则nm1,故B正确;
当x1时,若f(m)=g(n),则1mn,故D正确.
思维升华对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
跟踪训练1(1)(多选)函数f(x)=logax(a0且a≠1),下列说法正确的是()
A.当0a1时,函数在其定义域上是减函数