§2.7指数运算与对数运算
课标要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.掌握指数、对数运算在实际问题中的应用.
1.根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.
(2)式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数
(3)(na)n＝.
当n为奇数时，nan＝
当n为偶数时，nan＝|a|
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂：amn＝(a0，m，n∈N*，n1)
正数的负分数指数幂：a-mn＝＝1nam(a0，m，n∈N*
0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂没有意义.?
3.指数幂的运算性质
aras＝；(ar)s＝；(ab)r＝(a0，b0，r，s∈R).?
4.对数的概念
一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝，其中____________叫做对数的底数，叫做真数.?
以10为底的对数叫做常用对数，记作.?
以e为底的对数叫做自然对数，记作.?
5.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝，logaa＝，alogaN＝(a0，且a≠1，N
(2)对数的运算性质
如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：
①loga(MN)＝；?
②logaMN＝；
③logaMn＝(n∈R).?
(3)对数换底公式：logab＝logcblogca(a0，且a≠1；b0；c
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)4(-4)4＝－4.
(2)若M＝N，则logaM＝logaN.()
(3)2a·2b＝2ab.()
(4)lg2＋lg5＝1.()
2.(多选)下列运算正确的有()
A.lg2＋lg3＝lg5 B.log3100＝10log310
C.4log45＝5 D.log34·log
3.若a25＝425(a0且a≠1)，则loga
A.254 B.
C.15 D.
4.2723＋4log43
1.灵活应用指数幂化简常用的技巧
(1)ba-p＝a
(2)a＝(a1m)m，anm＝(a1m)
(3)1的代换，如1＝a－1a(a0)，1＝a-12a1
(4)乘法公式的常见变形，如(a12＋b12)(a12－b12
(a12±b12)2＝a±2a12b12
(a13±b13)(a23?a13b13＋
2.谨防两个易误点
(1)凡涉及对数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化.
题型一指数运算
例1(1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)()
A.a46＝3a
C.(62)2＝36 D
(2)计算：
664＋2723＋
(3)若a12＋a-12＝3，则a2＋
思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
跟踪训练1(1)2·322
A.212 B
C.216 D
(2)计算：0.125-13
题型二对数运算
例2(1)(多选)下列运算中正确的是()
A.log37log35＝log75 B
C.log222＝－1
(2)(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)＝8，则a＝.?
思维升华解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
跟踪训练2(1)(多选)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中不成立的是()
A.logab·logca＝logcb
B.logab·logcb＝logca
C.loga(b＋c)＝logab＝logac
D.loga(bc)＝logab·logac
(2)计算：12lg25＋lg2－lg0.1－log29×log32＝.
题型三指对运算的应用
例3(1)(2025·皖豫天一大联考)放射性物质的衰变规律为M＝M0×12tT，其中M0指初始质量，t为衰变时间，T为半衰期，M为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰