§2.9对数函数
课标要求1.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.2.了解指数函数y=ax(a0,且a≠1)与对数函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数.
1.对数函数的图象与性质
a1
0a1
图象
定义域
值域
性质
过定点,即x=1时,y=0
当x1时,;?
当0x1时,?
当x1时,;?
当0x1时,?
____________函数
___________函数
2.反函数
指数函数y=ax(a0,且a≠1)与对数函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线对称.?
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=loga2x(a0,且a≠1)是对数函数.()
(2)对数函数y=logax(a0,且a≠1)是增函数.()
(3)对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象恒过定点(1,0).()
(4)函数y=log2x与y=log12x的图象关于x轴对称.(
2.函数f(x)=1x-2+ln(x-1)的定义域为(
A.(1,+∞) B.(1,2)∪(2,+∞)
C.(-∞,1) D.(0,2)∪(2,+∞)
3.函数f(x)=loga|x|+1(a1)的图象大致为()
4.若对数函数f(x)经过点(4,2),则它的反函数g(x)的解析式为.?
1.掌握三个对数函数图象的特点
(1)不论a1还是0a1,对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象都无限靠近y轴,但不会与y轴相交.
(2)不论a1还是0a1,对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象都经过点1a,-1,(1,0),(a,1),且图象都在y轴右侧,据此可以快速画出对数函数y=logax(a0,且a≠1
(3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示,其中图象(C1,C2,C3,C4对应的底数依次为a,b,c,d)的相对位置与底数大小有关.图中0cd1ab.
2.谨防两个易误点
(1)凡涉及对数型函数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在解决对数型复合函数时,当底数a的范围没有明确时,必须分0a1和a1两种情况讨论.
题型一对数函数的概念与图象
例1(1)下列选项正确的是()
A.若函数f(x)=loga-1x+a2-5a+6是对数函数,则a=3或a=2
B.函数f(x)=4-xln(x-1)的定义域为(
C.函数f(x)=loga(4x-3)(a0,且a≠1)的图象过定点(1,0)
D.函数f(x)=log2(x2-2x)的单调递增区间是(1,+∞)
(2)已知函数f(x)=|lgx|,0x≤10,-12x+6,x10,若a,b,c互不相等,且f(a)=f
A.[10,12] B.(10,12]
C.(10,12) D.[10,12)
思维升华对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
跟踪训练1(1)(多选)函数f(x)=logax(a0,且a≠1),下列说法正确的是()
A.f(x)为增函数
B.函数f(x)的图象过定点(1,0)
C.当0a1且x1时,f(x)0
D.若点(2,1)在f(x)的图象上,则f?14=-
(2)(2024·深圳模拟)已知a0,且a≠1,则函数y=logax+1a的图象一定经过
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
题型二对数函数的性质及应用
命题点1比较对数式的大小
例2(1)已知a=log23,b=log46,c=log49,则()
A.a=bc B.abc
C.a=cb D.acb
(2)设a=log0.20.3,b=log23,c=log34,则a,b,c的大小关系为()
A.abc B.cba
C.bac D.bca
指、对、幂的大小比较
函数“比大小”是非常经典的题型,难度不定,方法无常,高考命题中,常常在选择题中出现,往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起进行排序.常用的解题方法有找中间值、特殊值法及利用指数、对数及幂的运算性质化简后再比较.
典例(1)设a=log62,b=log123,c=log405,则()
A.abc B.bac
C.cab D.acb
(2)已知5584,13485.设a=log53,b=log85,c=log138,则()
A.abc B.bac
C.bca D.ca