§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理,并能应用定理解决问题.
1.基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
2.“三个”推论
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
3.空间中直线与直线的位置关系
共面直线
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a∩α=A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a?α
无数个
平面与平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β=l
无数个
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
6.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a∥a,b∥b,我们把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围:0,
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.(×)
(2)若直线与平面不平行,则直线与平面有公共点.(√)
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(×)
(4)两两相交的三条直线共面.(×)
2.用符号表示“点A不在直线m上,直线m在平面α内”,正确的是()
A.A?m,m?α B.A?m,m∈α
C.A?m,m?α D.A?m,m∈α
答案A
解析由题意用符号表示“点A不在直线m上,直线m在平面α内”,即A?m,m?α.
3.(多选)下列命题正确的是()
A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.两条相交直线确定一个平面
D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面
答案CD
解析A中,空间不共线的三点确定一个平面,A错;
B中,只有点在直线外时才能确定一个平面,B错;
C中,两条相交直线确定一个平面,C正确;
D中,空间两两平行的三条直线确定一个平面或三个平面,D正确.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为.?
答案60°
解析因为M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,
所以MN∥BC1,
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
AC∥A1C1,
所以∠A1C1B或其补角为异面直线AC和MN所成的角,
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,△A1C1B为正三角形,
所以∠A1C1B=60°,
即异面直线AC和MN所成的角为60°.
1.异面直线的判定:经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
2.异面直线所成角的范围:两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.
题型一基本事实的应用
例1已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线;
(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
证明(1)如图所示,
连接B1D1.
因为EF是△C1D1B1的中位线,
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,
所以EF,BD确定一个平面,
即D,B,F,E四点共面.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C,
设A1,C,C1确定的平面为α,
又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1,所以Q∈α.
又Q∈EF,所以Q∈β,
所以Q是α与β的公共点,
同理,P是α与β的公共点.
所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,
所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.
则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
(3)因为EF∥BD且EFBD,
所以DE与BF相交,设交点为M,
则由M∈DE,DE?平面D1DCC1,
得M∈平面D1DCC1,
同理,M∈平面B1BCC1.
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,
所以M∈CC1.
所以DE,BF,CC1三线交于一点.
思维升华共面、共线、共点问题的证明
(1)共面:先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)共线:先由两点