§7.9空间距离及立体几何中的探索性问题
课标要求1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件.
1.点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP=a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ=|AP|2
2.点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度，因此PQ=AP·nn=AP
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(×)
(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度.(×)
(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.(√)
(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(×)
2.(2024·新余模拟)已知A(-1，-1，-1)，直线l过原点且平行于a=(0，1，2)，则A到l的距离为()
A.255 B.1 C.305
答案C
解析由题意取P(0，1，2)，则AP=(1，2，3)，
所以A到l的距离为
d=|
=(
=14?645=
3.若平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且平面α，β的一个法向量分别为m=(3，0，-3)，n=(-1，0，1)，则两平面间的距离是.?
答案2
解析因为m=-3n，n=(-1，0，1)，所以α∥β，所以平行平面α，β间的距离即为点O到平面β的距离，而OA=(2，1，1)，所以平行平面α，β间的距离d=|n·OA|n=|
4.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是.?
答案2
解析如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，
所以D1A1=(2，0
DA1=(2，0，2)，DB=(2，2，0
设平面A1BD的法向量为n=(x，y，z)，
则n
即2
令x=1，
则n=(1，-1，-1)，
所以点D1到平面A1BD的距离
d=|D1A1·
题型一空间距离
命题点1点线距离
例1四面体OABC满足∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=1，OB=2，OC=3，点D在棱OC上，且OC=3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为()
A.22 B.12 C.33
答案A
解析四面体OABC满足∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，即OA，OB，OC两两垂直，
以点O为原点，OA，OB，OC的正方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
因为OA=1，OB=2，
OC=3，OC=3OD，
则A(1，0，0)，D(0，0，1)，G13
于是AG=?23，23，1，AD=(-1，0，1)，|AG|=?232+232+
所以点G到直线AD的距离
d=|AG|2?AG
命题点2点面距离
例2在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ(0λ2)，则点G到平面D1EF的距离为()
A.23 B.2 C.22λ3
答案D
解析以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，
所以ED1=(-2，0，
EF=(0，2，0)，EG=(0，λ，1).
设平面D1EF的法向量为n=(x，y，z)，
则n
取x=1，得n=(1，0，2)，
所以点G到平面D1EF的距离为
d=|EG·n|n=
异面直线之间的距离
已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.
典例在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=6，点G在侧棱PB上，且满足2PG=GB，则异面直线PC和DG的距离为()
A.31414 B.31515 C.3
答案A
解析如图，以点A为原点，AB，AD，AP的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则B(3，0，0)，C(3，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，6)，G(1，0，4).
所以DG=(1，-3，4)，PC=(3，3，-6)，DC=(3