§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式
课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanαα≠π2+
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系：sinαcosα=tan
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
π2-
π2+
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.(×)
(2)若α，β∈R，则sin2α+cos2β=1.(×)
(3)若α∈R，则tanα=sinαcosα恒成立.(
(4)若sin(kπ-α)=13(k∈Z)，则sinα=13.(×
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()
A.sin(-x)=sinx
B.sin3π2?
C.cosπ2+
D.cos(x-π)=-cosx
答案CD
解析sin(-x)=-sinx，故A不成立；
sin3π2?x=-cosx
cosπ2+x=-sinx
cos(x-π)=-cosx，故D成立.
3.已知sinα-cosα=54，则sin2α等于(
A.-916 B.-716 C.716
答案A
解析∵(sinα-cosα)2=sin2α+cos2α-2sinαcosα=1-sin2α=2516，∴sin2α=-9
4.已知α是第三象限角，sinα=-35，则tanα=
答案3
解析由题意得cosα=-45，故tanα=sinαcos
1.熟记同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα)；
cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα)；
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.
(2)sinα=tanαcosαα≠
2.谨防两个易误点
(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
(2)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化，应用时要注意
题型一同角三角函数基本关系式
例1(1)(2025·昭通模拟)若sinθ=-2cosθ，则sinθ(sinθ+cosθ)等于()
A.-65 B.-25 C.25
答案C
解析因为sinθ=-2cosθ，所以tanθ=-2，
所以sinθ(sinθ+cosθ)=sinθ(sinθ+cosθ)si
(2)(2024·沈阳模拟)已知α∈(0，π)，且sinα+cosα=15，则tanα等于(
A.-34 B.34 C.-43
答案C
解析方法一sinα+cosα=15
则(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=125
即sinαcosα=-1225
又因为α∈(0，π)，故sinα0，cosα0，α∈π2
故(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=4925
因为α∈π2，π，则sinα-cosα=
结合sinα+cosα=15
sinα=45，cosα=-3
则tanα=-43
方法二sinα+cosα=15?cosα=15-sin
代入sin2α+cos2α=1，
得sin2α+15?sin
化简得25sin2α-5sinα-12=0，
解得sinα=45
所以cosα=15-sinα=-3
所以tanα=sinαcosα
思维升华(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα=tanαα≠
(2)形如asinα+bcosαcsinα+dcosα，asin2α+
(3)对于sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα，可以知一求二.
跟踪训练1(1)(2024·广州模拟)已知sinα-cosα=22，则tanα+1tanα的值为
A.-14 B.-4 C.14 D
答案D
解析sinα-cosα=22
则(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=12
解得sinαcosα=14
tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈0