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文件名称:第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式.docx
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更新时间:2025-06-12
总字数:约1.5万字
文档摘要

第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式

考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,eq\f(sinx,cosx)=tanx.

2.能利用单位圆中的对称性推导出eq\f(π,2)±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

【知识梳理】

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.

(2)商数关系:eq\f(sinα,cosα)=tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)+kπ,k∈Z)).

2.三角函数的诱导公式

公式

2kπ+α

(k∈Z)

π+α

-α

π-α

eq\f(π,2)-α

eq\f(π,2)+α

正弦

sinα

-sinα

-sinα

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

-cosα

cosα

-cosα

sinα

-sinα

正切

tanα

tanα

-tanα

-tanα

口诀

奇变偶不变,符号看象限

[常用结论与微点提醒]

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;

sinα=tanα·cosα.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.()

(2)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()

(3)若α∈R,则tanα=eq\f(sinα,cosα)恒成立.()

(4)若sin(kπ-α)=eq\f(1,3)(k∈Z),则sinα=eq\f(1,3).()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)对任意的角α,sin2α+cos2α=1.

(2)中对于任意α∈R,恒有sin(π+α)=-sinα.

(3)中当α的终边落在y轴上时,商数关系不成立.

(4)当k为奇数时,sinα=eq\f(1,3),

当k为偶数时,sinα=-eq\f(1,3).

2.(必修一P194T5改编)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)+α))=eq\f(3,5),那么cosα=()

A.-eq\f(4,5) B.-eq\f(3,5) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)

答案B

解析因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)+α))=-cosα=eq\f(3,5),

所以cosα=-eq\f(3,5).

3.(必修一P185T6改编)已知α是第三象限角,sinα=-eq\f(3,5),则tanα=()

A.-eq\f(3,4) B.eq\f(3,4) C.-eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)

答案B

解析由题意得cosα=-eq\f(4,5),

故tanα=eq\f(sinα,cosα)=eq\f(3,4).

4.化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)+α)))·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为________.

答案-sin2α

解析原式=eq\f(sinα,cosα)·(-sinα)·cosα=-sin2α.

考点一同角三角函数基本关系式

角度1切弦互化

例1(1)(2024·邵阳段考)已知角α的终边在直线3x-4y=0上,则cos2α+2sin2α=()

A.eq\f(64,25) B.eq\f(48,25) C.1 D.eq\f(16,25)

答案A

解析因为角α的终边在直线3x-4y=0上,

所以tanα=eq\f(3,4),

则cos2α+2sin2α=eq\f(cos2α+4sinαcosα,sin2α+cos2α)

=eq\f(1+4tanα,tan2α+1)=eq\f(1+4×\f(3,4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2)+1)=eq\f(64,25).

(2)(2023·全国乙卷)若θ∈(0,eq\f(π,2)),tanθ=eq\f(1,2),则sinθ-cosθ=________.