第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式
考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,eq\f(sinx,cosx)=tanx.
2.能利用单位圆中的对称性推导出eq\f(π,2)±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
【知识梳理】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:eq\f(sinα,cosα)=tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)+kπ,k∈Z)).
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α
(k∈Z)
π+α
-α
π-α
eq\f(π,2)-α
eq\f(π,2)+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tanα
口诀
奇变偶不变,符号看象限
[常用结论与微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;
sinα=tanα·cosα.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.()
(2)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()
(3)若α∈R,则tanα=eq\f(sinα,cosα)恒成立.()
(4)若sin(kπ-α)=eq\f(1,3)(k∈Z),则sinα=eq\f(1,3).()
答案(1)×(2)×(3)×(4)×
解析(1)对任意的角α,sin2α+cos2α=1.
(2)中对于任意α∈R,恒有sin(π+α)=-sinα.
(3)中当α的终边落在y轴上时,商数关系不成立.
(4)当k为奇数时,sinα=eq\f(1,3),
当k为偶数时,sinα=-eq\f(1,3).
2.(必修一P194T5改编)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)+α))=eq\f(3,5),那么cosα=()
A.-eq\f(4,5) B.-eq\f(3,5) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)
答案B
解析因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)+α))=-cosα=eq\f(3,5),
所以cosα=-eq\f(3,5).
3.(必修一P185T6改编)已知α是第三象限角,sinα=-eq\f(3,5),则tanα=()
A.-eq\f(3,4) B.eq\f(3,4) C.-eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)
答案B
解析由题意得cosα=-eq\f(4,5),
故tanα=eq\f(sinα,cosα)=eq\f(3,4).
4.化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)+α)))·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为________.
答案-sin2α
解析原式=eq\f(sinα,cosα)·(-sinα)·cosα=-sin2α.
考点一同角三角函数基本关系式
角度1切弦互化
例1(1)(2024·邵阳段考)已知角α的终边在直线3x-4y=0上,则cos2α+2sin2α=()
A.eq\f(64,25) B.eq\f(48,25) C.1 D.eq\f(16,25)
答案A
解析因为角α的终边在直线3x-4y=0上,
所以tanα=eq\f(3,4),
则cos2α+2sin2α=eq\f(cos2α+4sinαcosα,sin2α+cos2α)
=eq\f(1+4tanα,tan2α+1)=eq\f(1+4×\f(3,4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2)+1)=eq\f(64,25).
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈(0,eq\f(π,2)),tanθ=eq\f(1,2),则sinθ-cosθ=________.