目录上页下页返回结束*第七章第一部分向量代数第二部分空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节一、向量的概念二、向量的线性运算向量及其线性运算第七章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,记作e或e.或a.规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法?是一个数,规定:总之:运算律:结合律分配律因此?与a的乘积是一个新向量,记作定理1.设a为非零向量,则(?为唯一实数)证:“”.,取?＝±且再证数?的唯一性.则a∥b设a∥b反向时取负号,,a,b同向时取正号则b与?a同向,设又有b＝?a,“”则例1.设M为解:ABCD对角线的交点,已知b＝?a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b第二节点的坐标与向量的坐标二、利用坐标作向量的线性运算一、空间直角坐标系三、向量的模、方向角、投影ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点O,坐标面卦限(八个)1.空间直角坐标系的基本概念ⅠzOx面在直角坐标系下向径点M有序数组(称为点M的坐标)2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐标轴方向的分向量,的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM表示.记二、利用坐标作向量的线性运算则平行向量对应坐标成比例:设例1.已知两点在AB所在直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即说明:由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得中点公式:三、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式因得两点间的距离公式:对两点与例2.求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例3.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为及离的点.例4.已知两点求AB的单位向量e.解:2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称?=∠AOB(0≤?≤?)为向量的夹角.类似可定义向量与坐标轴的夹角.与三坐标轴的夹角?,?,?为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.方向余弦的性质:目录上页下页返回结束*