§5.2平面向量基本定理及坐标表示
课标要求1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则
a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，λa=(λx1，λy1)，|a|=x1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1)，|AB|=(x
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b?x1y2-x2y1=0.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.(×)
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，则λ1=λ2，μ1=μ2.(√)
(3)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2=y1y2
(4)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a=b?x1=x2且y1=y2.(√)
2.设平面向量a=(-1，0)，b=(0，2)，则2a-3b等于()
A.(6，3) B.(-2，-6)
C.(2，1) D.(7，2)
答案B
解析2a-3b=2(-1，0)-3(0，2)=(-2，-6).
3.在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE=λAB+μAC(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为()
A.12 B.-12 C.1
答案A
解析因为E为DC的中点，所以AC=AB+AD=12AB+12AB+AD=12AB+DE+AD=12AB+AE，即AE=-12AB+AC，所以λ=-1
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)，B(3，-1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为.?
答案(1，5)
解析设D(x，y)，则AB=DC，
得(3-(-1)，-1-(-2))=(4，1)=(5-x，6-y)，
即4=5?x，1=6?y，解得x=1，y=5，
1.熟记以下常用结论
(1)基底{e1，e2}给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0.
(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为x1
(3)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为x1
2.谨防三个易误点
(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以零向量不能作为基底中的向量.
(2)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
题型一平面向量基本定理的应用
例1(1)(2025·盐城模拟)若{a，b}是平面内的一个基底，则下列能作为平面向量的基底的是()
A.{a-b，b-a} B.2
C.{2b-3a，6a-4b} D.{a+b，a-b}
答案D
解析A选项，b-a=-(a-b)，所以a-b，b-a共线，不能作为基底向量.
B选项，2a+b=2a+12b，所以2a+b，a+
C选项，6a-4b=-2(2b-3a)，所以2b-3a，6a-4b共线，不能作为基底向量.
D选项，易知a+b，a-b不共线，可以作为基底向量.
(2)(2024·赣州模拟)在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别满足DC=2DE=4EF，BC=2BG，若AF=λAE+μAG(λ，μ∈R)，则λ+μ=
答案7
解析以{AB，
AF=AD+DF=34AB+AD，AE=AD+DE=12AB+AD，AG=
所以AF=λAE+μAG=λ12AB+AD+μAB+
可得12λ+μ=34，λ+12μ=1，两式相加得3
思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算