§8.5圆与圆的位置关系
课标要求1.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.能根据圆与圆的位置关系求公共弦方程、公共弦长、切线等一些简单问题.
圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形
量的关系
外离
外切
相交
内切
内含
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.()
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()
(3)若两圆相切，则两圆有三条公切线.()
(4)若两圆C1，C2相交于A，B两点，则线段C1C2与线段AB互相垂直平分.()
2.圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2－8x－6y+16＝0的位置关系是()
A.外切 B.相交 C.外离 D.内切
3.设a0，若圆(x－a)2+y2＝1与圆x2+y2＝25有公共点，则a的取值范围为()
A.(0，4) B.{4}
C.(4，6) D.[4，6]
4.(2024·哈尔滨模拟)已知圆C1：x2+y2＝4，圆C2：x2+y2－4x－4y+4＝0，两圆的公共弦所在的直线方程为.
灵活应用两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1＝0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在的直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).
题型一圆与圆的位置关系的判断
例1(1)(多选)(2024·合肥模拟)已知圆O：x2+y2＝1，圆C：(x－a)2+(y－1)2＝4，a∈R，则()
A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1
B.若圆O与圆C相切，则a＝±22
C.若圆O与圆C恰有两条公切线，则－22a22且a≠0
D.若a＝15，且P，Q分别是圆O和圆C上的动点，则|PQ|的取值范围是[1，7]
(2)圆C1：x2+y2+8x－2y+9＝0和圆C2：x2+y2+6x－4y+11＝0的公切线方程是()
A.y＝－x+1
B.y＝－x+1或y＝x+5
C.y＝－x+5
D.y＝x+1或y＝2x+5
思维升华判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
跟踪训练1(2024·聊城模拟)若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：(x－a)2+(y－b)2＝4恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点(a，b)的是()
A.2x+y－2＝0 B.2x－y+2＝0
C.x+y－2＝0 D.x－y+2＝0
题型二公共弦问题
例2(多选)(2024·白城模拟)已知圆O：x2+y2＝4与圆C：(x－3)2+(y－2)2＝9交于A，B两点，则下列说法正确的是()
A.线段AB的垂直平分线所在的直线方程为2x－3y＝0
B.直线AB的方程为3x+2y－4＝0
C.|AB|＝6
D.若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为24+12
思维升华(1)若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1＝0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
跟踪训练2(多选)若圆O：x2+y2＝4与圆C1：(x－m)2+(y－n)2＝4的公共弦AB的长度为23，则下列结论正确的有()
A.m2+n2＝4
B.直线AB的方程为mx+ny－2＝0
C.线段AB中点的轨迹方程为x2+y2＝3
D.四边形AOBC1的面积为3
隐圆
隐圆是指条件中某些点或点的轨迹在某个圆上，常见的隐圆形式有：
(1)阿氏圆：平面上两定点A，B，则平面上所有满足|PA||PB|＝λ(λ0且λ≠1)的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为λ1-λ2·|AB|
(2)直角顶点在以斜边为直径的圆上：在△PAB中，若PA⊥PB，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆(除去A，B两点).
典例(多选)(2024·铜仁模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m(m0且m≠1)的点的轨迹是圆”.人们将这个圆以他的名字