§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式
课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanαα≠π2＋k
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：sinαcosα＝tanα
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
π2－
π2＋
正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
－cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
正切
tanα
tanα
－tanα
－tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.(×)
(2)若α，β∈R，则sin2α＋cos2β＝1.(×)
(3)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立.(
(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.(×
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()
A.sin(－x)＝sinx
B.sin3π2-x
C.cosπ2＋x
D.cos(x－π)＝－cosx
答案CD
解析sin(－x)＝－sinx，故A不成立；
sin3π2-x＝－cosx，
cosπ2＋x＝－sinx，
cos(x－π)＝－cosx，故D成立.
3.若sinxcosx＝18，则cosx－sinx的值是(
A.±32 B.32 C.－32 D
答案A
解析(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝1－2×18＝34，所以cosx－sin
4.已知α是第三象限角，sinα＝－35，则tanα＝
答案3
解析由题意得cosα＝－45，故tanα＝
1.熟记同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；
(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.
(2)sinα＝tanαcosαα≠
(3)sin2α＝sin
cos2α＝cos
2.谨防两个易误点
(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
(2)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化，应用时要注意
题型一同角三角函数基本关系式
例1(1)(2024·广州模拟)已知sinα－cosα＝22，则tanα＋1tanα
A.－14 B.－4 C.14 D
答案D
解析方法一sinα－cosα＝2
则(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1
解得sinαcosα＝1
tanα＋1tanα＝
方法二(对偶式)
设cosα＋sinα＝t，
则cos2α＋2sinαcosα＋sin2α＝t2，①
又sinα－cosα＝2
则sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝12，
①②相加，可得t2＝32，即t＝62或
当t＝62时，由
可得sinα＝6＋24，cos
所以tanα＝6＋26-
所以tanα＋1tanα＝2＋3＋12＋3＝2＋3
同理，当t＝－62时，tanα＋1tanα
(2)已知tanα＝－3，则sin3α-sin
A.－34 B.34 C.310 D
答案C
解析因为tanα＝－3，
所以sin3α-sinαcosα＝sin
思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanαα≠
(2)形如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα，asin2α＋
(3)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.
跟踪训练1(1)(2025·太原模拟)已知sinα＋cosα＝63，0απ，则sinα－cosα等于(
A.－233 B.233 C.－3
答案B
解析因为sinα＋cosα＝6
所以(sinα＋cosα)2＝2
即sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝2
所以2sinαcosα＝－13
因为0απ，所以cosα0sinα，
所以sinα－cosα0，
因为(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1＋1
所以sinα－c