§2.3函数的奇偶性
课标要求1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.
函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D，且，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D，且，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于对称
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.()
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.()
(3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数.()
(4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)是奇函数.()
2.下列函数中是偶函数的是()
A.y＝2x B.y＝cosx
C.y＝lnx D.y＝sinx
3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是()
A.f(x)＋f(－x)＝0 B.f(0)＝0
C.f(x)·f(－x)≤0 D.f(x
4.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋b，则f(－1)＝.?
1.理解函数奇偶性的常用结论
(1)①如果奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于y轴对称的区间上具有相反的单调性.
(3)若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0.
2.谨防两个易误点
(1)求奇函数的解析式时，忽略x＝0会造成解析式缺失，特别地，奇函数要么在x＝0处没有定义，要么在x＝0处的函数值为0，即f(0)＝0.
(2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件.
题型一函数奇偶性的判断
命题点1常见函数奇偶性的判断
例1(多选)(2025·哈尔滨模拟)下列函数中具有奇偶性的是()
A.f(x)＝x＋sinx
B.f(x)＝(x－1)x
C.f(x)＝ln(x2＋1
D.f(x)＝2x＋1
命题点2抽象函数奇偶性的判断
例2(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有()
A.若恒有f(x3)＝－f(－x3)，则f(x)是奇函数
B.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，则f(x)是偶函数
C.若恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是偶函数
D.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)，且f(0)≠0，则f(x)是奇函数
思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
跟踪训练1(1)(多选)下列函数是奇函数的是()
A.f(x)＝tanx B.f(x)＝x2＋x
C.f(x)＝ex-e-x2 D.f(x
(2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)?
题型二函数的奇偶性的应用
命题点1利用奇偶性求解析式
例3(2025·肇庆联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－x，则f(x)＝.?
命题点2利用奇偶性求值
例4(1)(2024·黔东南模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x＋5，若f(m)＝4，则f(－m)等于()
A.4 B.6
C.－4 D.－6
(2)已知函数f(x)＝(2x＋a·2－x)cosx为R上的奇函数，则实数a等于()
A.－1 B.1
C.－2 D.2
命题点3利用奇偶性解不等式
例5(2025·深圳模拟)设奇函数f(x)满足f(1)＝0，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则不等式xf(x)0的解集为()
A.(－1，0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－2，－1)
D.(－2，－1)∪(0，1)
抽象函数
抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)-f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(-x)判定抽象函