§2.4函数的周期性和对称性
课标要求1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用.
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.?
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个___________就叫做f(x)的最小正周期.?
2.函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点对称.?
(3)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为.?
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于对称；?
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于对称；?
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于对称.?
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.()
(2)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称.()
(3)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称.()
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.()
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2024.5)等于()
A.1716 B.
C.2 D.1
3.已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则()
A.f(－1)f(3) B.f(0)f(3)
C.f(－1)＝f(3) D.f(0)＝f(3)
4.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点.?
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对于f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则2|a|是f(x)的一个周期；
(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则2|a|是f
(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则2|a|是f(
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a和x＝b对称，则函数f(x)的一个周期为2|a－b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的一个周期为2|a－b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)对称，则函数f(x)的一个周期为4|a－b|.
题型一函数的周期性
例1(1)已知函数f(x)满足f(2＋x)＝－f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x2－x，则f(2026)等于()
A.0 B.2
C.6 D.20
(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x－1)＝f(x＋2)，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)的值是()
A.2024 B.2023
C.1 D.0
思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
跟踪训练1(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则下列结论正确的是()
A.f(x＋6)＝f(x)
B.当x∈[－6，－3]时，f(x)＝x2－3x－6
C.f(2023)＋f(2025)＝f(2024)
D.函数f(x)的图象关于点(－6，0)对称
题型二函数的对称性
命题点1自对称中的轴对称
例2(多选)设f(x)是R上的奇函数，且对?x∈R，都有f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则下列说法正确的是()
A.f(x)在[3，5]上单调递增
B.f(x)的最大值是1，最小值是0
C.直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴
D.f(x)的一个周期为4
命题点2自对称中的中心对称
例3(多选)下列说法中，正确的是()
A.函数f(x)＝