§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式
课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanαα≠π2＋
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：.?
(2)商数关系：.?
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
π2-
π2+
正弦
sinα
余弦
cosα
正切
tanα
-tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()
(2)若α，β∈R，则sin2α＋cos2β＝1.()
(3)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立.
(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.(
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()
A.sin(－x)＝sinx B.sin3π2-x
C.cosπ2＋x＝－sinx D.cos(x－π)
3.已知sinα－cosα＝54，则sin2α等于(
A.－916 B.－
C.716 D.
4.已知α是第三象限角，sinα＝－35，则tanα＝.
1.熟记同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；
(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.
(2)sinα＝tanαcosαα≠
2.谨防两个易误点
(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
(2)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化，应用时要注意
题型一同角三角函数基本关系式
例1(1)(2025·昭通模拟)若sinθ＝－2cosθ，则sinθ(sinθ＋cosθ)等于()
A.－65 B.－2
C.25 D.
(2)(2024·沈阳模拟)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝15，则tanα等于(
A.－34 B.3
C.－43 D.
思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanαα≠
(2)形如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα，asin2α＋b
(3)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.
跟踪训练1(1)(2024·广州模拟)已知sinα－cosα＝22，则tanα＋1tanα的值为
A.－14 B.－
C.14 D.
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈0，π2，tanθ＝12，则sinθ－cosθ
题型二诱导公式
例2(1)若sin(π＋α)＝13，则sin(π－α)＋cosπ2-α
A.－23 B.
C.223 D.
(2)(2024·沧州模拟)已知cosπ4＋x＝13，则
A.－13 B.
C.223 D.
思维升华诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
跟踪训练2(1)(2024·镇江模拟)已知α为锐角，且cosα＋π6＝35，则
A.35 B.－4
C.45 D.±
(2)tan(π-α)cos(2π-α)sin
题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3(1)(2024·商洛模拟)已知sin(5π＋α)＝5sin9π2＋α，则sin2α＋sin2α等于
A.－926 B.11
C.1526 D.
(2)已知α∈0，π2，β∈π2，π，且sinπ2＋α＝3cosβ-π2，3sin(π
思维升华(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
跟踪训练3(1)若sin(3π＋α)＝12，α∈π，3π2，则tan(2025π－α)
A.－12 B.－
C.－3 D.－3
(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是
A.255 B.
C.31010 D
答案精析
落实主干知识
1.(1)sin2α＋cos2α＝1(2)sinαcosα＝
2.－sinα－sinαsinαcosαcosα－cosαcos