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2026届高三一轮复习回归教材版微专题——函数及其性质篇
专题八“凹凸”函数
回归教材典题
1、人教A版2019年必修一课本P101复习参考题3综合运用第8题：证明：
（1）若，则.
（2）若，则.
2．人教A版2020年必修二课本P14页习题4-1C第2题：设，其中且，比较与的大小，并证明.
3．人教A版2020年必修二课本P30页习题4-2C第2题：设，其中且，比较与的大小，并证明.
知识梳理：
“凹凸”函数
几何特征1（形状特征）
设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点,恒有:
(1),则称为上的凸函数;曲线任意两点与之间的部分位于弦的下方
(2),则称为上的凹函数。曲线任意两点与之间的部分位于弦的上方。
几何特征2（切线斜率特征）
设是函数曲线上两点,函数曲线与之间任一点处切线的斜率:
凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大而增大;凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大而减小。
八、“凹凸”函数的跟踪训练卷
一、单选题：共8道，每道题5分。
1．在这四个函数中，当时,恒成立的函数的个数是()
2、设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则函数的“严格凸区间”为（）
A． B． C． D．
3．已知定义在上的函数，如果满足：对任意两个不相等的实数，都有，则称函数具有“下凸性”．则下列函数：①；②；③；④.其中具有“下凸性”函数的个数是（????）
A．1 B． C．3 D．
4．函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（???）
A． B． C． D．
5．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（????）
A． B． C． D．
6．若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则叫做函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围是（????）
A． B． C． D．
7．丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（????）
A． B． C． D．
二、多选题：共3道，每道题6分。
9．若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围的子集有（????）
A． B． C． D．
10．若为上任意n个实数，满足，则称函数在上为“上凸函数”.设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“上凸函数”.下列结论成立的是（????）
A．在上为“上凸函数”B．在上为“上凸函数”
C．在中，D．在中，
11．丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数是上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列命题中正确的为（）
A.函数在上为“严格凸函数”
B.函数的“严格凸区间”为
C.函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为
D.已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是
三、填空题：共3道，每道题5分。
12、已知关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数