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2026届高三一轮复习回归教材版微专题——函数及其性质篇
专题八“凹凸”函数
回归教材典题
1、人教A版2019年必修一课本P101复习参考题3综合运用第8题：证明：
（1）若，则.
（2）若，则.
【分析】（1）直接代入数据化简得到证明.
（2）代入数据得到，
根据得到证明.
【详解】（1）.
（2）.
因为，即，
则.所以.
2．人教A版2020年必修二课本P14页习题4-1C第2题：设，其中且，比较与的大小，并证明.
【答案】，证明见解析.
【解析】利用作差比较法，结合函数的解析式，运用配方法，最后判断出大小关系.
【详解】，当且仅当时取“=”.
证明如下：，，
，当且仅当时取“=”.
【点睛】本题考查了指数式之间的比较大小，考查了配方法，考查了作差比较法，考查了数学运算能力.
3．人教A版2020年必修二课本P30页习题4-2C第2题：设，其中且，比较与的大小，并证明.
【答案】答案不唯一，具体见解析；证明见解析.
【解析】由，由重要不等式先比较出与的大小关系，再对的范围进行讨论即可.
【详解】当时，，当且仅当时取=；
当时，，当且仅当时取“=”.
证明如下：
.
当时，，当且仅当时取“=”；
当时，，当且仅当时取“=”；
【点睛】本题考查作差法比较大小，对数的运算化简和运用重要不等式比较大小，考查分类讨论思想，属于中档题.
知识梳理：
“凹凸”函数
几何特征1（形状特征）
设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点,恒有:
(1),则称为上的凸函数;曲线任意两点与之间的部分位于弦的下方
(2),则称为上的凹函数。曲线任意两点与之间的部分位于弦的上方。
几何特征2（切线斜率特征）
设是函数曲线上两点,函数曲线与之间任一点处切线的斜率:
凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大而增大;凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大而减小。
八、“凹凸”函数的跟踪训练卷
一、单选题：共8道，每道题5分。
1．在这四个函数中，当时,恒成立的函数的个数是()
【答案】B
【解析】运用数形结合思想,考察各函数的图象，注意到对,且,当总满足时,函数在区间上是凹函数。其图象是“上凸”的,因此否定,故选B.
2、设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则函数的“严格凸区间”为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】的导函数，，由可得，解得，所以函数的“严格凸区间”为，所以选D。
3．已知定义在上的函数，如果满足：对任意两个不相等的实数，都有，则称函数具有“下凸性”．则下列函数：①；②；③；④.其中具有“下凸性”函数的个数是（????）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】结合幂函数的图象根据“下凸性”定义判断．
【详解】的几何含义是：在区间上，图象上任意两点连线的中点，位于中点对应的函数值之上，幂函数、在第一象限的图象符合此性质，所以正确选项为C．故选：C．
4．函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，令，则恒成立，参变分离得到恒成立，令，利用导数求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围.
【详解】函数定义域为，则，令，则，依题意恒成立，即恒成立，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的最小值为.故选：B
5．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得：对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解.
【详解】因为，所以，
，因为在上为“凸函数”，所以对于恒成立，可得对于恒成立，令，则，因为，所以在单调递增，所以，所以，故选：C.
6．若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则叫做函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求函数的导数，，由题意可知若函数具有“凹凸趋向性”时，在有2个不同