辅导讲义
学员姓名：年级：高三课时数：3
辅导科目：数学学科教师：贺老师讲义审核：
授课主题
指对共生技巧--切线放缩
教学目标
1、让学生明确常见的几种切线关系，进一步学会变形式的应用。
2、认识到导数问题方法的互通性做到一题多解，熟练掌握。
教学重难点
重点：牢记几种不等关系，明确切线放缩实质是化曲为直。
难点：寻求放缩关系，放缩成什么样子。
教学内容
导数第一课说到了切线的定义：切线就是曲线上的割线在两个交点无限接近时所对应的那条直线。其实在这之前第一个定义来自古希腊三大数学家之一的阿波罗尼奥斯（ApolloniusofPerga，约公元前262～190）。
在数学中，喇叭角，也称为hornangle，是一种曲线角，定义为两条相切的曲线之间形成的角。下面这只牛角表面沿纵向正对的两条曲线近似牛角尖处相切，因此就形成一个喇叭角。
阿波罗尼奥斯将切线定义为一条直线，那么它和曲线之间不可能还能插入其他的直线。换句话说，所谓切线就是那个与曲线接触并形成最小夹角的直线。
阿波罗尼奥斯不愧为几何学大师，给出的切线的定义似乎无懈可击。即使将切线推广至曲线，也是可以的。因为若切线是形状大小固定曲线，当你试图将另一条同样的曲线插入喇叭角，并使它同一位置与切点重合时，它必然与原来的切线重合。换句话说，切线和曲线之间也无法再插入一条(同样的)切线了。
（阿波罗尼奥斯）
那么在学会求切线之后，我们可以用切线来解决诸多问题，比如说今天我们要学习的切线放缩证明不等式。
1、指对共生式：当要证明的不等式中既含有，又含有时，一般我们形象地称之为指对共生式，
2、常用的切线放缩有：
（1）；（2）；（3）；（4）.
在证明不等式的过程中，可通过上述常见的切线放缩，将或放缩掉，再来证明不等式，这是指对共生式一种可以考虑的方向.
注意：解题中若要用不等式、、等进行放缩，需要先给出证明.
3、朗博同构：当遇到幂函数（这里的幂函数包括常数)乘以e的x次方或常数乘以e的x次方时我们可以用对数恒等式变换这时搭配x+nlnx就能找到同构。
注意：幂函数取几次方需要依据lnx的系数。二者均为n。
当指对同时出现且幂函数乘以e的x次方出现时就可以考虑朗博同构。
【例l】：证明：.
证法1：易证，设，则，
所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，从而，故.
证法2：易证，故，
设，则，
所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，
故
所以，从而，故.
证法3：一方面，，所以，
另一方面，，显然当时，，所以，故.
小结：看到指对共生结构，可以考虑运用切线放缩把指数放掉，也可以考虑把对数放掉，当然，如果条件允许，两个都放掉就更简单了.
一方面，另一方面，，
变式：对任意的，证明：.
【解析】证法1：易证，当且仅当时取等号，所以当时，，令，则
所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，即，又，所以.
证法2：易证，当且仅当时取等号，所以，
设，则，，故在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，且，当时，，当时，，从而在上单调递减，在上单调递增，
故，又，所以，
从而
令，则，且，易得，所以，故，从而，故，所以.
证法3：易证，当且仅当时取等号，所以当时，，
另一方面，，所以，
而，所以，从而，故.
【例2】：已知函数.
（1）若在上单调递减，求实数a取值范围；
（2）若，求的最大值.
【解析】（1）由题意，在上恒成立，从而，设，则，所以在上单调递增，故，因为恒成立，所以，故实数a的取值范围为.
（2）解法1：当时，，，
设，则，所以在上单调递减，
又，，所以在上有唯一的零点，
当时，，所以，故在上单调递增，
当时，，所以，故在上单调递减，
从而，又，所以，两边取对数得：，故，即的最大值为.
解法2：设，则，所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故，所以，故，当时，
当且仅当时等号成立，设，则，故在上单调递增，结合，知在上有零点，即方程有实根，所以.
小结：①我们不只要学会运用这一切线放缩，它的变形也要会运用；
②若要利用切线放缩求最值，一定要验证等号能取到.
除了放缩，是不是尝试用隐零点来解答本题呢？
【例3】：（2021·新课标I卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间