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2025届上海市宝山区高考三模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设，集合，，若，则．
2．首项为2，公比为的无穷等比数列的各项和为.
3．若球的大圆的面积为，则该球的体积为
4．已知，则.
5．已知，则在上的数量投影是.
6．在的展开式中，第2项和第4项的系数相同，则.
7．已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是.
8．随机变量，，若，那么实数的值为.
9．已知复数，集合所构成区域的面积是.
10．从1?2?3?4?5?6?7?8?9中依次取出4个不同的数，分别记作，若和的奇偶性相同，则的取法共有.种
11．如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则.（结果精确到）
??
12．已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是.
二、单选题
13．成对数据的回归方程为，则它们在处的离差是（????）
A． B．
C． D．
14．“”是“”的（??）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（????）
A． B． C． D．
16．已知曲线为曲线上任一点，以下4个命题：
①曲线与直线恰有四个公共点；
②曲线与直线相切；
③是的函数；
④是的函数.
正确的个数是（????）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题
17．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面的夹角的正弦值.
18．已知，函数.
(1)若，求函数的表达式及定义域；
(2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围.
19．2023世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开，我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取得了很多成就.为普及人工智能相关知识，红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛两个部分，两部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异．现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：
实践????????理论
基础
中等
优异
基础
中等
优异
(1)若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为．求，的值；
(2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取人，求至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率；
(3)若基础、中等和优异对应得分为分、分和分，要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出的值．（直接写出答案）
20．如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点，是抛物线上异于点的动点.
(1)证明：直线是抛物线的切线；
(2)已知，且的重心是的焦点，求所在的直线方程；
(3)若分别在线段上，且交于点，求证：点是的重心.
21．把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，.
(1)若，求证：是等比数列；
(2)若，是否存在正数，使得；
(3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”.
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《2025届上海市宝山区高考三模数学试卷》参考答案
题号
13
14
15
16
答案
A
A
D
B
1．2
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】由，，且，
所以.
故答案为：2.
2．6
【分析】先由等比数列的求和公式，得到前项和，对前项和求极限，即可得出结果.
【详解】因为无穷等比数列的首项为，公比为，
因此其前项和为，
所以的各项的和为.
故答案为：
3．
【分析】根据球的大圆的面积，先计算出球的半径，进而可得球的体积．
【详解】设球的半径为R，
则球的大圆面积为9π=πR2，
解得R=3，
故该球的体积V=πR3=36π，
故答案为36π
【点睛】本题考查了球的体积公式，面积公式，属于基础题．
4．/0.75