重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性月考卷数学试题
一、单选题
1．已知复数则=（????）
A． B． C． D．2
2．已知集合，，则“”是“”的（????）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
3．平面向量、满足则（????）
A． B． C． D．
4．的所有二项式系数的第三四分位数是（????）
A．35
B．28
C．21
D．7
5．在平面直角坐标系中，点满足则P的轨迹为（????）
A．两条直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
6．设函数的定义域为，若为偶函数，则下列选项一定正确的是（????）
A． B． C． D．
7．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，其外接球的表面积为40π，则该正四棱台的高为（????）
A． B． C．或 D．或
8．已知函数在定义域上的最大值为，最小值为，则的值为（????）
A．2
B．3
C．
D．与实数λ有关
二、多选题
9．已知函数，下列说法中正确的有（????）
A．的最大值为1
B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的最小正周期为
10．已知抛物线其焦点为双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点P，则下列说法正确的是（????）
A．曲线的渐近线为
B．存在使得点的横坐标为
C．若以为直径的圆与x轴相切于点，则
D．若，设点到准线的距离为，则
11．函数和函数是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是（????）
A．函数在定义域上单调递增
B．不等式的解集为
C．若函数满足恒成立，则称为“可交换算子”，函数和函数是“可交换算子”
D．当时，
三、填空题
12．数列为等比数列，且，设为其前项和，，则．
13．在组合学重要分支“图论”中，把经过点的线段的条数定义为该点的“度”，记作，比如在左图中，，在右图中，保留左图，右图原有的连线，增加连线得到的图形中所有点的度数之和为．
14．已知且则．
四、解答题
15．在中，设角的对边分别为，且
（1）若，求b；
（2）若的面积为求的周长．
16．如图所示，五面体的底面是边长为4的正方形，均为正三角形，顶棱且平面．
（1）求五面体的体积；
（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
17．某学校食堂每天午餐最多可以提供3道特色菜，已知该食堂共有4个窗口，且每个窗口恰提供一道特色菜，每道特色菜在每个窗口出现的概率均为．假设各个窗口的供菜彼此独立，同学们可以在任何窗口点菜．
（1）已知食堂的特色菜中包含了“梅菜扣肉”，小明同学最喜爱这道特色菜，求小明某天午餐能吃到“梅菜扣肉”的概率；
（2）我们把一天午餐时食堂所有窗口中出现特色菜的种数称为“膳食多样性指标”．求该食堂“膳食多样性指标”的分布列及数学期望．
18．已知实数函数
（1）当时，过原点作函数图象的切线，求切线的方程；
（2）讨论的单调性；
（3）对任意不等式恒成立，求a的取值集合．
19．在平面直角坐标系中，已知椭圆
（1）椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上运动，证明：为定值，并求出该定值；
（2）对于给定的正整数，经过点的动直线和椭圆交于、两点，为坐标原点，设面积的最大值为．
（i）求；
（ii）证明：.
参考答案
1．【答案】A
【详解】，所以.
所以.
故选A.
2．【答案】C
【详解】已知，解不等式，即，所以.
判断充分性：
当时，集合，此时集合中的所有元素都在集合中，满足，所以由“”可以推出“”，充分性成立.
判断必要性：
若，因为集合，集合，所以的值可以为，也可以是其他值如，不一定只能是，即由“”不能推出“”，必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选C.
3．【答案】C
【详解】已知，对进行展开：
因为，所以，即.
设，则，移项可得，即.
计算，根据向量乘法分配律可得：
计算，对进行展开：
，所以.
设，，根据向量夹角公式可得：
因为，所以.
故选C.
4．【答案】B
【详解】由，则其二项式系数为，，，，
由小到大排列为，，则第三四分位数为.
故选B.
5．【答案】A
【详解】由，则两边平方可得，
整理可得，即，
解得或.
故选A.
6．【答案】D
【详解】因为为偶函数，根据偶函数的定义，对于任意，都有.
对于选项A：在中，找不到合适的值使得且，所以无法得出，A选项错误.
对于选项B：同样在中，找不到合适的值使得且，所以无法得出，B选项错误.
对于选项C：令，则，，此时；令，，，得到，但这并不能说明，C选项错误.
对于选项D：令，在中，，，所以，D选项正确.
故选D.
7．【答案】D
【详解】易知正四棱台上下底面为正方形，则外接圆的半径分别为，，
设外接球